[2018年最新整理]09第二章平稳随机过程.ppt

第二章：平稳随机过程 严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例 严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 联合平稳过程 平稳过程自相关函数的性质 平稳过程自相关函数的性质 习题: 时间平均和集合平均概念 * * 平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。 例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声； 这些随机现象的特点是：统计特性不随时间的推移而变化。 设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T，(X(t1),X(t2), …, X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或狭义平稳过程。 严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。 均值：mX(t)=E[X(t)]; 均方值： φ X(t)=E[X2(t)]； 方差：D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2 =φX(t)-mX2(t); 自相关函数：RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]； 协方差函数：Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2) 平稳过程的数字特征 对于平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ τ)，若令τ =-t1，则 F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1) 因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。 若随机过程X(t)平稳过程，则其均值、均方值和方差均为常数。 对于平稳随机过程X(t)的二维分布 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)，若令ε=-t1，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ) 平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数。 同理，协方差函数是时间τ的单变量函数 设{X(t),t∈T}是随机过程，如果 {X(t),t∈T}是二阶矩过程； 对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数； 对任意s,t ∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t)则称{X(t),t∈T}为广义平稳过程或宽平稳过程。 严平稳过程和宽平稳过程的关系 （1）宽平稳过程不一定是严平稳过程 （2）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程 （3）但是对于正态过程，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。 例题1： 设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。 例题2： 设{Xt，t=0, ±1, ±2, …}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xt]=0,D[Xt]=σ2。试讨论随机序列X(t)=Xt的平稳性。 例题3： 设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。 例题4： 随机过程X(t)只取+1和-1，且P{X(t)=+1} = P{X(t)= -1}=1/2，而正负号在( t, t+ τ)的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件AK={N(t,t+τ)=k}的概率为 试讨论X(t)的平稳性。 设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与τ有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。 设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质： （1） （2） （3） (4) 若X(t)是周期为T的周期函数，即 X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T)； (5) 若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|τ|→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则 已知平稳随机过程的自相关函数为: 求其均值和方差. 集合平均 mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。 时间平均 X(t)是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。 时间平均 集合平均 大数定理 设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2, …}，具有E[Xn