第2章 随机变量与其分布.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2.6.2 连续随机变量函数的分布 定理2.6.1 设 X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为: 例2.6.3 设 X ~ 求 Y =eX 的分布. y = ex 单调可导, 反函数 x = h(y) = lny, 所以当 y 0 时, 由此得 解： 解 2 当g(x)为其他形式时 例2.6.4 的概率密度。 再由分布函数求概率密度. 正态变量的线性不变性 定理2.6.2 设 X ~N (?, ?2)，则当a ? 0 时， Y = aX+b ~ N (a? +b, a2?2). 由此得： 若 X ~N (?, ?2)， 则 Y = (X? ?)/? ? N(0, 1). 对数正态分布 定理2.6.3 设 X ~N (?, ?2)，则 Y = e X 的服从 伽玛分布的有用结论 定理2.6.4 设 X ~ Ga (?, ?)，则当k 0 时， Y = kX ~ Ga (?, ?/k). 均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X ~ FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1). §2.7 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数 2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：?k = E(Xk) ， k = 1, 2, …. 注意: ?1 = E(X). k 阶中心矩：?k = E[X?E(X)]k ， k = 1, 2, …. 注意: ?2 = Var(X). 定义2.7.1 2.7.2 变异系数 定义2.7.2 为 X 的变异系数. 作用： 称 CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小. 2.7.3 分位数 P( X ? xp ) = F(xp) = p 定义2.7.3 设 0 p 1， 若 xp 满足 则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数. 注 意 点 (1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1? p . (2) 对离散分布不一定存在 p - 分位数. (3) 上侧 p -- 分位数 若记 x’p 为上侧 p - 分位数，即 则 P(X? x’p) = p 2.7.4 中位数 定义2.7.4 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数. 中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征. 不同点： 含义不同. 统计中常用的 p - 分位数 (1) N(0, 1)： Z? , U? (2) ?2(n)： (3) t (n)： (4) F (n, m)： * * * * * * * * * * * * * * * 随机变量的标准化 设 Var(X)0, 令 则有 E(Y)=0, Var(Y)=1. 称 Y 为 X 的标准化. 一般正态分布的标准化 定理2.5.1 设 X ~ N(? , ? 2), 则 Y ~ N(0, 1). 推论: 若 X ~ N(?, ? 2), 则 若 X ~ N(? , ?2), 则 P(Xa) = ， P(Xa) = 设 X ~ N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X?10|2). 解: P(10X13) = ?(1.5)??(0) = 0.9332 ? 0.5 P(|X??10|2) = P(8X12) = 2?(1)?1 = 0.6826 = 0.4332 例2.5.3 设 X ~ N(?, ? 2), P(X ? ?5) = 0.045, P(X ? 3) = 0.618, 求 ? 及 ?. 例2.5.4 ? = 1.76 ? =4 解: 已知 X ~ N(3