分数阶微积分的一些性质及证明.pdf

No．2 第26卷第2期 忻州师范学院学报 V01．26 OF TEACHERSUNIVERSITY 2010年4月 JOURNALXINZHOU Apr．2010 分数阶微积分的一些，陛质及证明 张慧琛 (忻州师范学院，山西忻州034000) 摘 要：分数阶微积分的概念，作为微积分理论的发展早已提出，它是研究分形，分形函 数，分形分析的重要工具。而分数阶微积分的定义有各种不同形式，文章给出了分形函数的一 种重要的分数阶积分和分数阶微分定义，且针对这种分数阶微积分的定义研究了它的一些 性质。 关键词：分形函数；分数阶；分数阶微分；分数阶积分 中图分类号：0174．1文献标识码：A l基本概念 =志(鲁)“r(t叫叫。饥膏)出 关于分数阶微积分的定义有各种不同形式，下面我们给 2亓；i万I面J上L卜石J’．，‘纠积 出它的一种常用定义。Riemann—Liouville分数阶微积分。 =志(告)“p”狄t叫出2亓而I面J土茗。．，¨一纠积 定义1．1设，在(O，+∞)上连续，Iipf∈C(o．+。)，且在 (m—Ip≤m) (1．4) J“0，+∞)的任何有限子区间上可积，对t0，Re(矽)0 称 阶微分，也称为n阶导数。但当弘不是正整数时，整数阶微 (1·1) 分与分数阶微分是不同的，例如．对常数的分数阶微分不为 o-y(t)2高I：(￡一茹)”狄菇)如 零，事实上 为函数fCt)的l，阶Pdemann—Liouville分数阶积分(简 称R—L积分)。其中r(1，)=【e“，一dt为伽马函数。显 然，(1．1)可以改写为： ：士f车1”C．』(￡一鼻)m，l： 2亓；i万I面J’—m-—ltu叫厂h (1·2) o-’f(t)2高p“，(t一茗)也 ：i上一f车1“j■m， 2亓而I石J再‘。 当l，=n为正整数时，D-钗t)=上奶‘)dt…dt为普通意义 =i去≮(m—Ip≤m)I 、 、P8”吖 下的n次积分，也称为，l阶积分。 —r(一弘) 2分数阶微分与积分的一些性质 我们结合上面的p阶Riemann—Liouville分数阶积分的 定义以及经典微积分中的整数阶微分可以给出如下的肛阶 Riemann—Liouville分数阶微分的定义： 义讨论有关它们的一些性质。 定义1．2设，∈C，p0，m是大于或等于p的最小正 整数，记y=m-p,_-O。则称 由定义不难证明它满足下列性质： (1．3)