2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例.ppt

单调递减 极大值 单调递增 极小值 单调递减 f(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) (12,30) 12 (2,12) 2 (0,2) 0 课时跟踪检测见课时达标检测(十九) [例1]　如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？ 令S′(x)0，得x140， 令S′(x)0，得20x140. 函数S(x)在(140，＋∞)上单调递增， 在(20,140)上单调递减， S(x)的最小值为S(140)． 当x＝140时，y＝175. 即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24 500， 故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小． [随堂即时演练] 面积、容积最值问题 用料最省(成本最低)问题 利润最大问题 [例3]　某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)． (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)． [典例]　(12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S. (1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域； (2)求S的最大值． [提出问题] 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ [类题通法] 解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值． [类题通法] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． [化解疑难] 1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围． [活学活用] 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)． 解：如图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点x km， 则BD＝40，AC＝50－x， 所以BC＝＝. [类题通法] (1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 利润＝收入－成本． 利润＝每件产品的利润×销售件数． 则f′(x)＝－x2＋24 000， 令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极大值点x＝200， 故它就是最大值点，且最大值为 f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000 ＝3 150 000(元)． 所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.[解题流程] [例2]　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ [活学活用] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 设总的水管费用为y元，则 y＝3a(50－