【数学】3.4 生活中的优化问题举例 课件2(人教a版选修1-1).ppt

* * * * * 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. 知识回顾：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 5.1 2 4.5 1.25 2.5 价格（元） 0.6 规格（L） 问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ (0，2) f (r) 0 f (r) (2，6] 2 r - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p 解：∵每个瓶的容积为: ∴每瓶饮料的利润： 解：设每瓶饮料的利润为y，则 (0，2) f (r) 0 f (r) (2，6] 2 r - + 减函数↘ 增函数↗ ∵f (r)在(2，6]上只有一个极值点 ∴由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值 -1.07p 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：设每瓶饮料的利润为y，则 ∵当r∈(0，2)时， 而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小. 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 问题情景二：汽油使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢？ 　　一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程 如何计算每千米路 程的汽油消耗量？ 例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v(km/h) g (L/h) O 120 90 30 50 5 10 15 分析：每千米平均的汽油消耗量 ，这里 w是汽油 消耗量，s是汽车行驶的路程 ∵w=gt，s=vt P(v，g) 的几何意 义是什么？ 如图所示， 表示经过原点 与曲线上的点 P(v，g)的直线 的斜率k 所以由右图可知，当直线OP 为曲线的切线时，即斜率k取 最小值时，汽油使用效率最高 例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100