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非线性力学导论 第1讲 绪 论 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 课程概述 本课程的主要目的是通过力学介绍非线性系统所特有的现象。迄今为止，我们处理的极大多数问题是线性或接近线性（有时称为弱非线性）的问题。线性问题比较容易处理，再加上线性问题解的迭加原理成立，所以当问题的维数增加时，原则上很多定性是不会改变的。而非线性问题却不同，它可以出现很多线性系统中不可能出现的现象，并且当维数增加时会不断出现一些新的性质。譬如神经网络系统，每个神经元都是一个简单的非线性单元；当大量的这样单元联结在一起，就会出现很多新的性质。由于课时关系，我们只介绍最基本的非线性系统的特点，即便如此，其新的特点也会使人目不暇接，使得读者在今后的学习和工作中可以运用这些知识去了解、研究某些看起来是奇特的现象。 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 课程概述 以后我们研究的是确定性系统，通常是由差分方程或微分方程来描述，说明怎样由过去决定现在，有时也称为动力系统。 由差分方程描述的发展过程称为差分动力系统。 （Logistic映射） 由微分方程描述的发展过程称为微分动力系统。 （Logistic方程，Landau方程，Lotka-Volttera方程） * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.1 差分方程(Logistic映射) 由条件可知，当 。λ称为系统的控制参数。 * （1.1） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.1 差分方程(Logistic映射) 初值的敏感（依赖）性导致内在的随机性，即不稳定性。一般来说，上述问题中如果有100位二进制初值，经过100次迭代后就无任何初值信息保留下来。 * A. 内在的随机性 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.1 差分方程(Logistic映射) 若 ，则称x为不动点，不动点有时也称为定常解。在例1.1中有两个不动点∶ * B. 不动点，稳定集合 现在讨论不动点（附近）的稳定性。设 是不动点，则 所以 当 ；当 在例1.1中， ，所以 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.1 差分方程(Logistic映射) * 当 是稳定点, 是不稳定点; 当 是稳定点, 或 是不稳定点。对于 或 ，需要讨论高阶项。 系统的不稳定点在实际中难以观察到，而稳定的定常解可以从 得到。图1.1表示例1.1中的定常解，实线是稳定解，虚线是不稳定解。 处有尖点，同时从只有一个定常解变成两个定常解，其中一个稳定，