第五章离散型随机变数.ppt

第五章 離散型隨機變數 陳順宇 教授 成功大學統計系 離散型隨機變數 最常遇到的離散型隨機變數，如 二項分配、 超幾何分配 下一章將討論連續型隨機變數，如 常態分配 隨機變數 是一種函數對應， 實驗的每一種結果指定一數值與之對應。 隨機變數中之〝隨機〞 表示結果的不可預知， 〝變數〞表示每次結果會有不同的變化 通常隨機變數以英文大寫字母表示 離散型隨機變數 若一隨機變數可能發生的數值 只有有限個或是 0,1,2,…等整數個時， 稱為離散型隨機變數 如擲一個銅板 3 次 可能擲出的正面次數有0、1、2、3 共4種可能結果， 令表3次中出現正面的次數 像這種試驗每種實驗結果 有一數值與之對應， 而且對應的數值只有可數的幾種 即為離散型隨機變數 機率分佈(或機率分配) 一個離散型隨機變數在 各種可能數值k 發生的機率， 稱為此隨機變數的機率分佈(或機率分配)， 即隨機變數的機率分佈為 求 P( X= k ) =? 例5.1、 甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子 如擲出骰子點數是1,2時，甲需付給乙1元， 如擲出骰子點數是3,4時，甲、乙兩人沒有輸贏， 如擲出骰子點數是5,6時，則甲可得1元 令X表甲擲1次骰子後所得的錢， 求X的機率分佈？ 機率分佈 例5.2、 甲、丙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子 如擲出點數是1,2時，甲可得2元， 如擲出點數是3,4時，甲可得4元， 如擲出點數是5時， 甲可得10元， 如擲出點數是 6時， 甲需付給丙 20元 令Y表擲1次骰子後甲所得的錢， 求Y的機率分佈？ Y的機率分佈 例5.5、 某人擲一個公正銅板4次， 令X代表4次中擲出正面的次數， 求X的機率分佈？ 擲4次銅板的實驗其樣本空間 U = {正,反}×{正,反}×{正,反}×{正,反} U的計數 擲4次銅板皆沒有出現正面的機率 利用第四章事件獨立求解 因每次擲出反面的機率都是1/2， 而且每次擲出反面結果的事件都是獨立 因此4次都出現反面的機率為(1/2)4， 即 = 1/2×1/2×1/2×1/2 = (1/2)4 4次銅板中恰有1次出現正面 ( )=({(正,反,反,反),(反,正,反,反), (反,反, 正,反),(反,反,反,正)}) 擲4次銅板恰有1次出現正面的機率 一般事件(X=k)發生機率 f 為 X的機率密度函數 機率密度函數 機率密度函數圖 擲此骰子60次 平均數 相對次數 6個相對次數都應接近等於1/ 6 離散型的隨機變數期望值或稱平均數 變異數定義 變異數也可利用下列二式計算 例5.6、(例5.1續) 甲、乙兩人玩擲骰子遊戲， 令X表甲擲1次骰子後所得的錢，求 (1)X的期望值 (2)X的變異數。 X的機率分佈 (1)X的期望值 (2)X的變異數 例5.7、(例5.2續) 甲、丙兩人玩擲骰子遊戲中， 令Y表甲擲1次骰子後所得的錢， 求 (1) Y的期望值 (2) Y的變異數 Y的機率分佈 (1)Y 的期望值 Y的變異數 例5.9、(例5.5 續) 令X代表擲一個公正銅板4次出現正面的次數， 求 (1)X的期望值與 (2)X的變異數？ X機率分佈 期望值 X的變異數 公司四個部門男女生人數統計交叉列表 (1) 求X,Y 的聯合機率分佈。 (2) 試證事件(X=0) 與事件(Y=1) 是 不獨立的 X,Y聯合機率分佈 事件(X=0) 與事件(Y=1) 是不獨立的 隨機變數獨立 相加期望值 畢氏定理解釋 X, Y 相加的變異數 當資料是從某母體隨機取樣n個(即 X1,X2,...,Xn 是iid ) 期望值的意義 例5.11、設某君花50元買一張獎券 (如愛國獎券等)， 請問這張獎券實際價值是多少錢？ 表5.2 愛國獎券之獎金與名額 您可想像如果把所有獎券都買進，則所有獎金都是您的，獎金共得 期望值定義 5.3 二項分配 ?擲一銅板其結果有二種可能， 正面或反面，正面或稱成功，以X=1表示，反面或稱失敗，以X=0表示， 這種只有二種結果的試驗(或實驗) 稱為伯努利試驗(Bernoulli Trial)， 例5.18、袋中取球觀其顏色:某公司舉辦摸紅球贈獎活動 一袋中有紅球r 個、非紅球b