弹性力学简明教程(第四版)_习题解答..doc

弹 性 力 学 简 明 教 程 (第四版) 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y=0） 左(x=0) 右（x=b） 0 -1 1 -1 0 0 0 0 0 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件： ②在小边界上，能精确满足下列应力边界条件： ③在小边界上，能精确满足下列位移边界条件： 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，可求得固定端约束反力分别为： 由于为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） (s) (s) 0 -1 0 0 1 - 0 ，，， ②在=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 ③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故 【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？ 【解答】由于，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件： (a)上端面OA面上面力 由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有 (对OA中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则 综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答： 图2-20 图2-21 （a）图2-20，，。 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。 （1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有 等式左===右 应力分量不满足相容方程。 因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 （b）图2-21，由材料力学公式，，(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的解答:，。又根据平衡微分方程和边界条件得出：。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 【解答】（1）推导公式 在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程。 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为： 。 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。 得： 根据边界条件 得 故 将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式： 满足 第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23） 应力分量不满足相容方程。 故，该分量组分量不是图示问题的解答。 【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。 【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程，横截面对中性轴的惯性矩为，根据材料力学公式 弯应力； 该截面上的剪力为，剪应力为 取挤压应力 （2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式： 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。 （3）将应力分量代入应力表示的相容方程 满足相容方程 （4）考察边界条件 ①在主要边界上，应精确满足应力边界条件(2-15) 0 -1 0 0 0 1 0 0 代入公式（2-15），得 ②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩 满足应力边界条件 ③在次要边界上，首先求出固