伴随矩阵的性质和运用11.doc

伴随矩阵的性质及运用 邓文斌 09数计（2）班 电话摘 要 伴随矩阵是矩阵的重要概念，有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。 关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用 引 言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点在计算中经常出现把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 伴随矩阵的定义 设是矩阵A =中元素的代数余子式，矩阵=称为A的伴随矩阵。 A的伴随矩阵有两步骤定义： 把A的每个元素都换成它的代数余子式，（代数余子式定义：在一个n级行列式D中，把元素第i行第j列元素（i，j = 1, 2，。。。。n）所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成一个n-1 阶行列式，称为元素的余子式，带上符号称为的代数余子式，记作。） 将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。 伴随矩阵的实例 二阶伴随矩阵的求法 设A是一个二阶矩阵，则有A可得（i，j =1,2）为代数余子式 则A的伴随矩阵为= 2.2三阶伴随矩阵的求法 对于三阶矩阵首先求出 各代数余子式A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32……A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21然后伴随矩阵就是 3.伴随矩阵的性质 3.1 ，E为n阶单位矩阵。 3.2 矩阵A式可逆矩阵的充分必要条件是A非退化，而（） 证明：当，由，可知，A可逆，且 反过来，如果A可逆，那么有使 两边去行列式，得 因而，即A非退化。 该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。 若A为非奇异矩阵，则 证明：因为，由两边取逆可得 ，故 另一方面，由，有 可得 综上， 该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。 伴随矩阵的性质 4.1令A,B为n阶矩阵，则 （1）A对称 （2）A正交 （3）若A与B等价，则 （4）若A与B相似，则 （5）若A与B合同，则 （6）A=B； （7）A正定 （8）A为可逆矩阵 （9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。 (1) ; (2) 因为A是正交矩阵， 故 是正交矩阵. 4.2 ，其中A是n阶方阵（n2） 证明：若 若，这时秩1，，而也有 综上得 4.3设A为n阶矩阵，则秩= 证明:事实上，当秩A=n，即A可逆时，由于，故也是可逆的，即秩=n 当秩A=n-1时，有，于是， ，从而秩；又因秩A=n-1，所以至少有一个代数余子式，从而又有秩，于是秩=1 当时，=0，即此时秩=0 4.4 若A=，则 证明：== 4.5 设k为常数， 证明：。 4.6 当A可逆时，。 证明：由，。 而，故结论成立。 4.7 证明：当=0时，秩=0， =0， 当时， 4.8 = 证明： = 而 ，故结论成立。 4.9 若A为正交矩阵，则也是正交矩阵。 证明：因为A为正交矩阵，则 于是 故 也是正交矩阵。 4.10 设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则为的特征值。 证明：，又为的特征值， 故 存在非零向量a ，使 即 从而，故为的特征值。 若A是正定矩阵,则也是正定矩阵。 证明　首先正定矩阵有以下结论: A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正。 不妨设、为A的特征值,若A是正定矩阵,则λ0,i=1,2,…,n,|A|0且A可逆。 因为=|