信号与系统 微分方程式的经典解法.ppt

(2) 信号与系统 * 信号与系统 * §2.3 微分方程经典求解法 n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order 全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应） 全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （卷积法） 时域分析法 （经典法） 变换域法 （第四章拉普拉斯变换法） 微分方程求解 n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系， 可以用下列形式的微分方程式来描述 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。 若系统为时不变的，则 ， 均为常数，此方程为常系数的n 阶线性常微分方程。 一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解， 初始条件: 齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意：重根情况处理方法（修改齐次解的形式） 特 解：根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系 数的特解函数式，代入原方程，比较系数 定出特解。 经典法 完全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 线性时不变系统经典求解 齐次微分方程 特征方程 特征根 齐次解形式：（和特征根有关） 齐次解 线性时不变系统经典求解 特征根 齐次解的形式 对于每一个单根 k重实根 k重复根 线性时不变系统经典求解 给出一项 解：系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为 求微分方程 齐次解 解：系统的齐次方程为 例 自由项 响应函数 r(t) 的特解 或 当 a 是 k 重特征根时 当a＋jb不是特征根 当a＋jb是特征根 线性时不变系统经典求解 如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 给定微分方程式 这里 为待定系数，将此式代入方程得到 例： （1） ，自由项为 ， 选特解函数式为 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到 所以，特解为 于是，特解为 求出的齐次解 和特解 相加即得方程得完全解 当 将其代入方程的右端，可求得自由项为 很明显，可选 这里，B 是待定系数。 代入方程后有： 例：求微分方程的完全解 解: 齐次方程为 特征方程： 特征根： 该方程的齐次解为： 此处，自由项即为激励函数。其中中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为： 线性时不变系统经典求解 代入原微分方程得 求得 所以特解为 完全解为 代入初始条件 求得 所以有 线性时不变系统经典求解 或写为