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信号与系统 第四章 连续时间系统的频域分析 南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系 王旭东 xudong@nuaa.edu.cn §4.1 引言 在第三章中我们学习了信号的另外一种分解方法—频域分解。 周期信号：分解为时间上连续，频域上离散的正弦分量或指数分量。 非周期信号：分解为时间上连续，频域上也连续的指数分量。 所以，参照时域分析法，我们只要求出系统对这些正弦分量或指数分量的响应，然后叠加就可求出系统的零状态响应。而零输入响应的求法与时域法相同。 第四章要点： 频域分析： 周期信号——稳态分析； 非周期信号——瞬态分析。 不失真条件 物理可实现性 §4.2 非正弦周期信号通过线性系统的稳态分析 对于这种信号它存在于 - ∞t∞，因此可以认为信号早已加入系统，系统的瞬变过程已结束而处于稳定状态。对于这种情况只须作稳态分析就可以了。 总的说还是分为三步：1、分解；2、求单元响应；3、叠加。 通常将信号分解为正弦分量，并用复数表示：有效值∠相位 或 振幅∠相位 输入输出关系用系统转移函数表示，不同的输入输出关系转移函数有不同的含义，如转移阻抗，转移导纳等。 §4.4 有始信号通过线性电路的瞬态响应 前面我们讨论的是无始无终的信号，信号在很久以前就加入系统了。现在我们要分析有始信号，信号可以是有始无终，也可以是有始有终。这样信号是在某一时刻加入到系统（通常我们把信号加入到系统的时刻作为时间参考点，即 t=0）。信号从加入系统到系统稳定中间经历了一个瞬变过程。因此，也称瞬态分析。 一、分析方法 全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应的求法如前，这里主要讨论零状态响应的求法，基本思想还是三步：分解、求单元响应、叠加。根据这个思想可归纳为以下几个步骤： 1、求激励信号的频谱函数: e(t)←→ E(jω) 2、求系统转移函数: 转移函数定义为 三、H(jω)的求法 §4.5 阶跃信号通过理想低通滤波器 一、滤波器的概念 滤波器是这样一种网络，在某一频率范围内信号传输时衰减很小，信号能顺利通过——这个范围称滤波器的通带。在通带之外信号传输时衰减很大，阻止信号通过——这个范围称滤波器的阻带。按照滤波器的特性不同，可分为低通、高通、带通、带阻等。下面是它们的示意图，其中fc为截止频率。 二、理想低通滤波器及其冲激响应 三、阶跃信号通过理想低通滤波器 3、理想低通滤波器是非因果系统： 显然激励信号是在t=0时刻加入的，但系统的响应却在t0时就有了，这是违反因果律的。所以是非因果系统。非因果系统是物理不可实现的。 4、系统的物理可实现性： 非因果系统是物理不可实现的，只有因果系统才是可实现的。那么怎样来判别系统是否因果系统呢？ ①、时域： 响应应出现在激励之后，对反映系统特性的冲激响应来说，应满足： h(t)=0 当 t0时。 理想低通滤波器的冲激响应显然不满足这个条件。 ②、频域： 对反映系统特性的系统转移函数应满足： 需要注意的是佩利、维纳准则只涉及转移函数的模，并不涉及相位，所以它是必要条件并不充分。 对于理想低通滤波器，由于在阻带内|H(jω)|=0，所以，|ln| H(jω)||=∞，如果是在个别点上，可表现为有限个冲激函数，积分仍可有界，但理想低通滤波器的阻带有无穷多个点，积分无界，不符合佩利、维纳准则物理不可实现。同样道理理想高通、带通和带阻滤波器都是物理不可实现的。 5、理想系统的逼近： 现在我们知道理想系统是物理不可实现的，在实际工作中可以采用逼近的方法，使用物理可实现系统去逼近理想特性，使得在我们所使用的频率范围内近视为理想。逼近方法有以下几种： ①、最平坦型——巴特沃滋(Butterworth) 采用巴特沃滋多项式来逼近理想特性 §4.6 信号通过线性系统不产生失真的条件 通过前面的学习，我们知道信号通过系统都会产生失真。一般来说作为传输信号的系统总要求失真尽可能地小。除非在某些特殊情况下，人为要求信号波形的变换，例如微分电路、积分电路等。这一节将从理论上来讨论系统不失真的条件。 如果一个信号通过系统后幅度上仅有k倍的变化，时间上仅延迟一个固定的时间，则称无失真 所以，信号通过系统的不失真条件可归结为两条： 1、系统转移函数的幅频特性在整个频率范围内（-∞ω∞）为常数。这保证了信号通过时各频谱分量在幅度上不产生失真。 2、系统转移函数的相频特性是过原点的直线。这保证了信号通过时各频谱分量产生统一的延迟。 说明： 1、上面两条对所