高三数学一轮复习专题辅导(教师版).doc

函数的性质及应用 例题讲解： 1．设（C ） A．0 　B．1 C．2 D．3 2．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1(x2)， |f(x1)-f(x2)||x2-x1|恒成立”的只有(A ) A． B． C． D． 3.已知函数，若f(x)为奇函数，则________． 4．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A．（0，1） B． C． D． 4．C 解：因为时，单调递减，所以 x1时，单调递减，故 又函数在定义域上连续，故当x=1时，，得，故 5．函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值是 （ ） A．3 B． C．2 D． 5．B解：作出函数的图象，由y=0解得x=1，由y=2解得或，所以的最小值为 故选B. 6．对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是___． 7．对定义域是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数 （1）若函数，g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式； （2）求问题（1）中函数h(x)的值域； （3）若g(x)= f(x(()，其中(是常数，且(([(((]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个(的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明。 解：(1) (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,若x1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+sin2x, α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.的最大值是，最小值是，求的值． 解：，=， ∵，且，∴当即时， ∴，∴，又最大值是，∴ 即，∴ ，∴． 9．函数y=a2x+2ax-1(a0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值． 解：令u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1 当a1时 当0a1时， 综上得，． 10．已知奇函数满足的值为 ． 解： ． 11．已知定义域为的函数是奇函数。 （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(x)=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （2）解法一：由（Ⅰ）知，易知f(x)在上 为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式： 等价于，因f(x)为减函数，由上式推得： ．即对一切有：，从而判别式． 解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ，即：， 整理得　，上式对一切均成立，从而判别式． 12．已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数． （1）求实数a的值组成的集合A； （2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：（1）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．①，设( (x)=x2－ax－2，① －1≤a≤1， ∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}. （2）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+80，∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，，∴从而|x1－x2|= =，∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立．②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一： g(－1)=m2－m－2≥0， ② g(1)=m2+m－2≥0， m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对