[2018年最新整理]14第十四讲曲面积分与高斯公式.doc

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第十四讲　曲面积分与高斯公式 课时数 4 教学 目的 通过教学使学生掌握两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握高斯公式及曲面积分与路径无关的条件 重 点 难 点 1．重点两类曲面积分的计算方法； 2．难点高斯公式及补面法。 教 学 提 纲 第十四讲　曲面积分与高斯公式 1.第一类曲面积分 (1)问题的提出， 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 (2)第一类曲面积分的计算--------代入法 2. 第二类曲面积分 (1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 (2)计算--------代入法 (3)高斯公式 补面法 (4)曲面积分与积分路径无关问题 (5)奇点的处理方法。 教学过程与内容 教学 后记 第十四讲　曲面积分与高斯公式 一、.第一类曲面积分 1．问题的提出 设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)处密度为 f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M 说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 2．第一类曲面积分的计算(代入法) 设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , 当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即 例1：I=,S是半球面（）。 【解】　,　　　 , = 例2：为椭球面S:的动点，若S在处的切平面与面垂直。 求点Ｐ的轨迹Ｃ； 计算，其中为椭球面位于Ｃ上方的部分。 二、 第二类曲面积分 1．问题的提出 磁通量问题。表示 【说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 2．第二类曲面积分计算(代入法) 用代入法计算时,一般应分成三个计算: ①（如果曲面积分取的上侧取号，如果曲面积分取的下侧取-号）. 类似有 ②（如果曲面积分取的前侧取号，如果曲面积分取的后侧取-号）。 ③（如果曲面积分取的右侧取号，如果曲面积分取的左侧取-号）. 例3:计算曲面积分，其中是圆面 下侧。 【分析】 由于在上， ，所以 【点评】本题展示的化简积分的方法是非常重要的。 例4:计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的下侧 【分析】 可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算. 【解】（略） 3．高斯公式 设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： 由Gauss公式可计算某些空间立体积分 V= 例5： 计算, 式中S为球面的内侧 【解】 由高斯公式 知 = 例6：计算曲面积分 其中为曲面的上侧。 【分析】（补面法）本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 【解】 补充曲面：，取下侧. 则 = 其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又 = 其中. 【评注】 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。 （2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的 例7：计算外侧。 【分析】该题，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。 【解】 由积分表达式及S的对称性知 所以 记上半球（上侧）为S上，记下半球（下侧）为S下 =2 所以 4.曲面积分与积分路径无关问题 设是空间二维单连通区域，函数、、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分 在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲面(或沿内任一闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是等式在内恒在成立。 例8：设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有 ＝０，其中在（０，＋∞）内具有一阶连续导数，且＝１，求． 【解】 由于对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有 ＝０， 所以 即 解得 5.奇点的处理方法 定理：设函数、、在在空间坐标系上除了点Ｐ外都有，则对任意分段光滑闭曲面， 是一个定值。 例9：计算曲面积分其中是曲面的外