第四章曲的第二基本形式与曲面上的曲率.doc

作者： AUTHOR 王幼宁 - PAGE 1 - 第四章　曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 §5　曲面上的曲率概念 利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体． 一．主曲率 定义1　曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向． 注记1　①　Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向． ②　当两个主曲率 ?1(P) ? ?2(P) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 ?1(P) ? ?2(P) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩阵 ?(P) ? ?1(P)I2 ，即 ?(P) ? ?1(P)g(P) ． 主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算．即： 　　①　对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵 ? 之时，方程为 HYPERLINK \l 式43 (4.3) 式，或直接写为 (5.1)　　?? ? ?I2 ? ? 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 ? 和 g 之时，其方程可变形为 (5.2)　　?? ? ?g ? ? 0 ． 　　②　对于主方向的算法，各种等价算式为 　　　　a ? ai ri ? 0 为主方向，即非零切方向 a1:a2 为主方向 　　? ?? , ?(a1, a2)? ? ?(a1, a2) , (a1, a2) ? (0, 0) 　　? ?? , ?(a1, a2)? ? ?(a1, a2)g , (a1, a2) ? (0, 0) 　　? det. EQ \B(\A(\L((a1, a2)?),\L( (a1, a2)g ))) ? 0 　　? EQ \A((a2)2 ?a1a2 (a1)2,g11 g12 g22,?11 ?12 ?22) ? 0 ． 主方向所对应的微分方程通常写为 (5.3)　　 EQ \A((du2)2 ?du1du2 (du1)2,g11 g12 g22,?11 ?12 ?22) ? 0 ． 定义2　若曲面 S 在点 P 处的两个主曲率相等，则称点 P 为曲面 S 上的一个脐点．若曲面 S 处处为脐点，则称曲面 S 为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点． 注记2　全脐曲面 S 的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式． 二．Gauss曲率和平均曲率 定义3　对于正则曲面 S ，其在点 P 处的两个主曲率的乘积 ? ，称为其在点 P 处的Gauss曲率或总曲率；其在点 P 处的两个主曲率的算术平均值 H ，称为其在点 P 处的平均曲率． 注记3　①　注意到 HYPERLINK \l 式44 (4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为 (5.4)　　 ? ? ??? ? EQ \F( ?? ? ,?g?) ? EQ \F( LN ? M2 ,EG ? F2) , (5.5)　　 H ? EQ \F( tr.? ,2) ? EQ \F( LG ? 2MF ? NE ,2(EG ? F2)) ． 　　②　主曲率方程 (4.3) 式现可改写为 (5.6)　　 ?2 ? 2H ? ? ? ? 0 ； 其中 H 2 ? ? ? EQ \F( (?1 ? ?2)2 ,4) ≥ 0 ． 　　③　Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号． 　　④　当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数 (5.7)　　 ?i ? H ? EQ \R(,H2 ? ? ) , i ? 1, 2 处处连续，并且在非脐点处连续可微． 　　⑤　平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． 　　⑥　平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面． 例1　证明可展曲面的Gauss曲率 ? ? 0 ． 证明　对可展曲面 S 的直纹面参数化 r(u, v) ? a(u) ? v l(