第三章曲面的第二基本形式.pdf

第三章 曲面的第二基本形式 §3.1第二基本形式 在上一章我们已经对曲面的概念作了讨论，并且初步研究了曲面上与度量有关的性质。 现在我们要着手研究空间E3 中曲面的形状，首先讨论描写曲面在第一点的弯曲程序的方法。 设S : r r(u,v) 是一块正则曲面。曲面S 在点 （u , v ）的切平面p 有单位法向量 0 0 r r n u v （1） | ru rv | (u0 ,v0 ) 很明显，刻画曲面 S 在 （u , v ）处的弯曲程度的最直观的量就是该点的邻近点到平面 0 0 p 的有向距离d 显然，邻近点 （u0 u,v0 v ）到平面p 的有向距离是 d (u,v) [r(u u, v v) r(u , v )] n （2 ） 0 0 0 0 根据Taylor 展式，我们有 r(u u,v v) r(u ,v ) 0 0 0 0 1 2 (ru |(u ,v ) u rv |(u ,v ) v) (ruu |(u ,v ) u 0 0 0 0 2 0 0 r uv r v2 o u 2 v 2 2 uv |(u0 ,v0 ) vv |(u0 ,v0 ) ) ( ) 其中 | ( 2 2 ) | o u v lim 2 2 0 2 2 u v u v 0 因此 1 2 2 2 2 d (u ,v) (Lu 2Muv Nv ) o(u v ) ， （3） 2 其中 L ruu |(u ,v ) n, 0 0 M ruv |(u0 ,v0 ) n, （4 ） N rvv |(u0 ,v0 ) n, 由于r n r n 0 ，所以L ，M，N 还能表示成 u v L r n , M r n r n , N r n （5） u u