三角有理函数及些无理函数的不定积分.ppt
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第4节有理函数的不定积分.ppt
第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 注意 二、简单无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 四、小结 四种典型部分分式的积分: * 一、有理函数的不定积分 二、简单无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 其中 m、n 都是非负整数 ; a0 , a1 , …, an 及 b0, b1 ,…, bn 都是实数，并且a0?0, b0?0 . n m , R(x)称为真分式； n ? m , R(x)称为假分式. 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例如 说明 将有理函
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有理函数的不定积分.ppt
运行时,点击按钮“例1(3)”,可显示被积函数化为部分分式的过程.运行时,点击“本题按常规方法解很繁”,或按钮“常规”,将显示常规方法接替步骤,并自动返回.第四节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:三、积分表的使用一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为例.将下列真分式分解为部分
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73有理函数的不定积分.doc
§7.3有理函数的不定积分
代数的预备知识
计算有理函数的不定积分，要用到一些代数的相关知识。
有理函数的一般形式：，其中和都是多项式。即
若的次数大于或等于的次数（即）——有理假分式
若的次数小于的次数(即)——有理真分式
一个重要结论：任何有理假分式，通过多项式的除法，都能化为一个多项式与一个有理真分式之和。即
=+
例如，，
可见，任何有理函数的不定积分，都可以化为多项式的积分和有理真分式的不定积分。而多项式的不定积分很简单，因此只要讨论有理真分式的不定积分的计算方法即可。
先介绍两个定理：
定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式
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D4.4有理函数的不定积分.ppt
第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 四种典型部分分式的积分: 注意 二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分 四、小结 * * * 一、有理函数的不定积分 三、简单无理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 其中 m、n 都是非负整数 ; a0 , a1 , …, an 及 b0, b1 ,…, bn 都是实数，并且a0?0, b0?0 . n m , R(x)称为真分式； n ? m , R(x)称为假分式. 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例如 一个真分式
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有理函数的不定积分.pptx
第四节有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三、简单无理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分
一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中m、n都是非负整数;a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a0?0,b0?0.nm,R(x)称为真分式；n?m,R(x)称为假分式.利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如
一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和.其中部分分式的形式为：难点将有理函数化为部分分式之和.0102
分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式，则分解后为特殊地：
分解后为则分解后为（2）分母
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高数上有理函数的不定积分.pptx
赋值法
例4.求下列积分：
尽管半角代换在理论上很重要,但是计算量较大,并不简便。例6．求下列不定积分
作业习题七（P174）1（1）（2）（3）（5）；2；3；；5（2）（4）；6（1）。12
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毕业论文-有理函数不定积分的研究.doc
本 科 毕 业 论 文
题 目： 有理函数不定积分的研究
The Study of Indefinite Integral of HYPERLINK app:ds:rationalRational HYPERLINK app:ds:functionFunction
姓 名
学 院 贵 州 民 族 大 学
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四章不定积分部及简单有理函数.pptx
三分部积分法
问题
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
分部积分公式
分部积分法
例1求积分
解（一）
令
显然，选择不当，积分更难进行.
解（二）
令
例1求积分
例2求积分
解
总结
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数
和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降
幂一次(假定幂指数是正整数)
例3求积分
解
令
例4求积分
解
总结
若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.
例5求积分
解
简单有理函数积分
1.有理函数的定义
2.简单有理函数
1.有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
四有理函数的积分
2.简单有理函
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74 简单无理函数与三角函数的不定积分.doc
§7.4 简单无理函数与三角函数的不定积分
(一) 教学目的：
会求简单无理函数与三角函数的不定积分．
(二) 教学内容：
三角函数的不定积分；某些无理根式的不定积分．
(1)要求：会计算三角函数的不定积分；某些无理根式的不定积分．
(2) 利用第二换元积分法求某些无理根式的不定积分．
(三) 教学建议：
(1) 举例说明求三角函数的不定积分和某些无理根式的不定积分的方法．
(2) 本节的难点是利用第二换元积分法求某些无理根式的不定积分.
1 简单无理函数的不定积分
I 型函数的不定积分
采用代换
II 型函数的不定积分
(1) 如果, 是的两个实根.
采用代换
(2) 如果.
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简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分.doc
简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分
一、简单无理函数的不定积分
对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。
下面总假设表示关于变量的有理函数。
1．型函数的不定积分。其中
解法：作变量替换，即,于是
，
转化为有理函数的不定积分。
例1．求
分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。
，，，
作变量替换，即，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。
解：作变量替换，即，则
例2．求
解：设 则，，所以
2．型函数的不定积分，其中（即方程无重根）
分两种情况讨论：
（1）时，
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有理函数与三角函数的积分.ppt
有理函数与三角函数的积分最简单的有理函数的积分2、４、二、一般有理函数的积分1、定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数其中m、n都是非负整数，及都是实数，且分子与分母没有公因式是真分式；是假分式；2、假分式可化成一个多项式和一个真分式之和。如3、真分式可以化为部分分式之和。（难点）多项式很容易实现积分，只需讨论真分式的积分。（1）分母中若有因式则可拆项为添加标题分母中若有因式添加标题其中添加标题真分式化为部分分式之和用的是待定系数法添加标题则可拆项为化为部分分式之和。解：设取并将例1、将可根据等号两边同次项系数相等得到关于A、B、C的一元方程组求出系数，也可代入特殊值来确定系数代入方程取代
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药学高数15有理函数与简单无理函数的积分.ppt
第四节有理函数与简单无理函数的积分一、有理函数的积分二、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：其中n,m为非负整数,a0,a1,…,an和b0,b1,…,bm都是实数，且a0?0,b0?0。假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式。
定理:如果真分式的分母可分解为两个因式Q(x)与R(x)的乘积,则此真分式等于两个部分分式之和(1)如果分母的因式中含有单因子x-a,则部分分式中含有的项，其中A为待定常数。例
(2)分母中含有因子(x-a)k(k1),则部分分式中含有其中A1,A2,…，Ak为待定常数。例(3)如
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关于有理函数的积分第1页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分第2页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.第3页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第4页，讲稿共38页，2023年5月2日，星期三（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第5页，讲稿共38页，2023
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有理函数积分等.ppt
运行时,点击按钮“例1(3)”,可显示被积函数化为部分分式的过程.运行时,点击“本题按常规方法解很繁”,或按钮“常规”,将显示常规方法接替步骤,并自动返回.§4.3内容回顾分部积分公式1.使用原则:易凑出,易积分2.使用经验:“反对幂指弦”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.补充多次分部积分的快速计算法:(u是保留部分,v是凑得部分)多次分部积分快速计算表格:特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.注:是的原函数例11.求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例12.求解:令则=(前面已讲过)备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则1.(先换元,再分部)方法2令
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D有理函数积分.ppt
第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 四种典型部分分式的积分: 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 二 、可化为有理函数的积分举例 例7. 求 例8. 求 2. 简单无理函数的积分 例11. 求 例12. 求 内容小结 练习 * 直接积分法; 换元积分法; 分部积分法 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 除法 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 解: (1) 用拼凑法 故 -5, 6 原式