D4.4有理函数的不定积分.ppt

第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 四种典型部分分式的积分: 注意 二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分 四、小结 * * * 一、有理函数的不定积分 三、简单无理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 其中 m、n 都是非负整数 ; a0 , a1 , …, an 及 b0, b1 ,…, bn 都是实数，并且a0?0, b0?0 . n m , R(x)称为真分式； n ? m , R(x)称为假分式. 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例如 一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和. 其中部分分式的形式为： 难点 将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 例3 整理得 变分子为 再分项积分. 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 求 的步骤： 1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积 . 2. 将 拆成若干个部分分式之和. (分解后的部分分式必须是最简分式). 3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例 求积分 解 原式 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式. (万能代换公式) 化为了 u 的有理函数的积分. 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化为有理函数的积分. 讨论类型 (主要三种) * *