药学高数15有理函数与简单无理函数的积分.ppt
第四节有理函数与简单无理函数的积分一、有理函数的积分二、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,它具有如下形式:其中n,m为非负整数,a0,a1,…,an和b0,b1,…,bm都是实数,且a0?0,b0?0。假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式;这有理函数是假分式。
定理:如果真分式的分母可分解为两个因式Q(x)与R(x)的乘积,则此真分式等于两个部分分式之和(1)如果分母的因式中含有单因子x-a,则部分分式中含有的项,其中A为待定常数。例
(2)分母中含有因子(x-a)k(k1),则部分分式中含有其中A1,A2,…,Ak为待定常数。例(3)如果分母的因式中含有x2+px+q,则部分分式中含有其中p2-4q0,A,B,为待定常数。例
01如果分母的因式中含有(x2+px+q)s,(s1),则其中,p2-4q0,Ai,Bi(i=1,2,…,s)为待定常数。02例0304便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。05
例3-40求解由于所以
例3-41把真分式化为部分分式之和。解方法一:令两边去分母后,得即比较两端系数,得
方法二:令两边去分母后,得取x=1得:B=1;取x=0得:-A+1+D=0;取x=-1得:-4A+2+4D-4C=-2;取x=2得:5A+5+2C+D=2,得方程组解得所以
例3-42求解由例子3-41的结果,得
例3-43求解令化去分母后,得令x=0得A=1;x=1,x=2,x=-1,代入上式,得其中
简单无理函数的积分例3-44求解令,则
例3-45求解令,则
例3-46求解由于,令,则
应当指出由于初等函数在其定义域内连续,所以其1原函数存在,但是有些初等函数的原函数却不能用初2等函数表示。例如:3如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示,4称这个函数的不定积分“积不出来”。5注意:6一个初等函数的不定积分“积不出来”,并不是指7这个不定积分不存在,而是指它的原函数不是初等函8数。9
内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,
作业:习题三8