小波变换课件ch3多分辨分析和正交小波的构造.ppt

第三章 多分辨分析与正交小波的构造;3.1 多分辨率分析;进而有 是信号 中含有的以第j级小波的平移函数族为基的展开式, 可简称为 的第 j 级小波分量 第j级小波空间 如果 是正交小波，则 ; 的小波空间分解理论上是完美的， 实践中是行不通的 ※小波级数的双重无限和难以实现 无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作近似处理？ ※ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值 ※ j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至-∞ 是不可避免的 ;J 级尺度空间 尺度空间的性质 ※潜套性 ※完备性 ※稠密性 ※互补性 ※尺度性质;尺度函数 如果函数 的平移族是空间V0的Riesz基 则称 为一个尺度函数。 目标：下式成立 (3.1.13) 定理3.1: 如果 是 空间的Riesz基,并且它和小波函数 存在如下关系 则式(3.1.13)成立;具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列{ }称为由尺度 函数 生成的一个多分辨率分析(MRA) ;对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一的部分可用低分辨率来表示。 我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，从图像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的图像，则 可理解为Vj空间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分放在Wj-1空间;Vj;3.1.3 基于正交尺度函数和小波函数的分解;MRA中特殊情况： 正交尺度函数 正交小波函数 小波函数与尺度函数正交 在上述前提下，小波级数可改写为 ;3.2 正交小波构造的理论基础; 从信号处理的角度，h是与?(t)对应的低通滤波器， g是与?(t) 对应的高通滤波器 {h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式 {hk，gk}k?Z，也可以表示为频域上的2?周期函数{h(?)，g(?)}。两者本质上是一样的。;Riesz条件的频域表达（定理3.2) 如果函数 满足Riesz条件 那么 满足下列不等式， 反之亦然。;定理3.3 的平移族 构成空间 的 正交规范基的必充条件是 推论3.1 根据定理3.2和3.3, 可推出如下结论: 如果 是尺度空间 的Riesz基，那么由 所确定的函数 的平移族 是同一尺度空间的正交规范基。;Poisson公式;定理3.4 平移族是 的正交规范基的充要条件 是 满足 定理3.5 当 ， 有 定理3.6 小波函数 的平移族能够张成 在 空间中正交补 的充要条件是它对应的 满足 ;定理3.7 在 满足构造正交小波的基本条件(3.2.11) ，取 （3.2.16) 则(3.2.13)和(3.2.14)式成立。 推论3.2 (3.2.16)式等价于 ;尺度函数 与小波函数 的对比;正交尺度函数的构造;正交小波函数的构造;频域求解过程：;构造正交小波的方法;3.3 B_样条函数;B_样条函数的基本性质： 非负性 紧支撑 Fourier变换 整数节点上的值之和为1 ;微分性质 插值公式 对称性质 ; B_样条函数的