第七章线性代数方程组的直接法.ppt

【定义2】设 为Rn中一向量序列，即 其中 若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有 则向量 称为向量序列 的极限，或者说向量序列 依坐标收敛于向量 ，记为 * * 【定理7.13】向量序列 依坐标收敛于X*的充要条件是 向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。 【定义3】设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ， 则称 为矩阵A的范数或模， 记为 。即 * * （1）当A = 0时， ＝0，当A ? 0时， 0 （2）对任意实数k 和任意A，有 （3）对任意两个n阶矩阵A，B有 （4）对任意两个n阶矩阵A，B，有 * * 2．矩阵的范数 【定义3】（矩阵范数）如果矩阵的 某个非负的实值函数 满足条件： 则称 是 上的一个矩阵范数(模)。 * * 矩阵和向量相容的范数： 其中 满足矩阵范数的定义，称为A的Frobenius范数。 【例5】 设A＝(aij)∈M。定义 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 * * 【定理8】设n 阶方阵A = (aij)n?n，则 （Ⅰ）与 相容的矩阵范数是 （Ⅱ）与 相容的矩阵范数是 其中?1为矩阵ATA的最大特征值。 （Ⅲ）与 相容的矩阵范数是 上述三种范数分别称为矩阵的1-范数，2-范数和∞-范数。 * * 可以证明, 对方阵 和 ，有 (向量|| · ||2的直接推广) Frobenius范数: * * 3．矩阵范数与特征值之间的关系 【定理9】矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即 【定义4】矩阵A 的诸特征值 的最大绝对值称为A的谱半径， 记为： 并且如果A为对称矩阵，则 * * 注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。 【定义5】 设|| · ||为Rn×n上的矩阵范数，A, B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。 【定义6】设给定Rn×n中的矩阵序列 ，若 则称矩阵序列 收敛于矩阵A，记为 * * 【定理10】 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵 的充要条件为 。 * * 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ ? 设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 §5 误差分析 * * ? 设 精确，A有误差 　 ，得到的解为 ，即 Wait a minute … Who said that ( I + A?1? A ) is invertible? (只要? A充分小，使得 是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越 则 A 越病态， 难得准确解。 大 * * 【定义7】设A为n 阶非奇异矩阵，称数 为矩阵A的条件数。 条件数的性质： ⅰ）cond (A)≥1 ⅱ）cond (kA)= cond (A) , k 为非零常数 ⅲ）若 ，则 * * 注:cond(A)与所取的范数有关 常用条件数有： cond (A)2 特别地，若 A 对称，则 cond (A)1 =‖A‖1 ‖ ‖1 cond (A)? =‖A‖? ‖ ‖? * * 【例】Hilbert 阵 cond (H2)? = 27 cond (H3)? ? 748 cond (H6)? = 2.9 ? 106 cond (Hn)?? ? 当 n ? ? 注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数! 【定义2】设线性方程组的系数矩阵是非奇异的，如果cond(A) 越大，就称这个方程组越病态。反之，cond(A)越小，就称这个方程组越良态。 * * 一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 * * ? 近似解的误差估计及改善： 设　　 的近似解为　 ，则一般有 cond