第二讲：线性代数方程组求解(直接方法)1.ppt

下面来看看直接解法和迭代解法的含义 直接解法就是通过有限步的计算 得到精确解的的方法: 迭代解法就是 通过逐次迭代逼近来得到近似解的方 法. 线性代数方程组的解法 直接解法 迭代解法 基本框架 Basic frame 一般原则如下 　　　对低阶稠密矩阵和大型带形矩阵对 　　应的线性代数方程组，用直接解法求解； 　而对大型稀疏（非带形）矩阵所对应的 线性代数方程组，用迭代方法求解。 General Principle 线性代数方程组的一般形式为 写成矩阵的形式为 AX=b /* Direction Method */ 第二章 解线性代数方程的直接方法 §2.1 高斯（Gauss）消去法 1.高斯顺序消去法： §2.1 Gauss evaluation method 基本思想 对线性代数方程组所对应的增广矩阵进行一系列 “把某一行的常数倍加到另一行上去” 这样的初等行变换,最后得到上三角矩阵所对应的线性代数方程组,只要回代就可得到原方程组的解。 §2.1 Gauss evaluation method §2.1 Gauss evaluation method §2.1 Gauss evaluation method §2.1 Gauss evaluation method (二)回代过程 下面来看两个定理 定理1：如果线性方程组的系数矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零，则可用 高斯顺序消去法求出方程组的解. 定理2：如果线性方程组的系数矩阵 A非奇异，则可用高斯消去法求出该 方程组的解. §2.1 Gauss evaluation method 例：试用高斯顺序消去法求解线性代数方程组： 解：线性方程组的增广矩阵为： §2.1 Gauss evaluation method 首先进行消去过程，对 分别用-2，-3，-4乘第一行 后加到第2、3、4行有 对 用-1乘第2行分别加到第3、4行有 §2.1 Gauss evaluation method 对 用-1乘第3行加到第4行有 其次进行回代过程：算出 §2.1 Gauss evaluation method 不进行行交换的高斯消去法 回代可得 把 的第一行乘以-1764加到第二行有 方法1 §2.1 Gauss evaluation method 方法二 进行行交换的高斯消元法：交换 的第一，二两行有 把 的第一行乘以-0.0005670 加到第二行有 回代可得x2=1.000，x1=10.00 从例子我们可以看出，原方程的解为x2=1.000，x1=10.00即方法2所求得，而方法1得出的解是错误的. 大数“吞掉”小数的现象 §2.1 Gauss evaluation method 第一步： 交换后的矩阵仍记为 ， 第二步：即 类似地,完成第二步到第n-1步,最后可得上三角形式。 3.全主元消去法选主元的范围更大. 总结 2：高斯列主元消去法： §2.1 Gauss evaluation method §2.2 矩阵的三角分解 左乘 即有 第二步：等价于：若 时，用矩阵 §2.2 Triangular Decomposition of Matrix 1 直接三角分解法 /* Direction Method of Triangular Decomposition */ 左乘 即有 一步一步作下去，一直做到第n-1步，有 §2.2 Triangular Decomposition of Matrix §2.2 Triangular Decomposition of Matrix 容易计算得 综合上述n-1步,我们有 从而 由 的定义及逆矩阵的计算,容易得到 根据分块矩阵的计算,并记 由 我们有: §2.2 Triangular Decomposition of Matrix 定义:2.2.1 定义:2.2.2 设A为n(n1)阶矩阵,称 A=LU为矩阵A的三 角分解,其中L是下三角矩阵,U是上三角矩阵. 如果L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵,则三角分解A=LU称为杜利脱尔(Doolittle)分解;如果L是下三角矩阵,U是单位上三角矩阵,则称A=LU为克罗脱(Crout)分解. §2.2 Triangular Decomposition of Ma