第二讲：线性代数方程组求解(直接方法)2.ppt

１．向量与矩阵的范数 定义2.3.1 对任意的向量　　　,若对应一个非负的实值函数　满足： 则称　 为向量x的范数或模 ?　　　　　　　　　　　　（１－范数）　　　　 ?　　　　　　　　　　　　（２－范数）　　　　 ( １ ) 非负性：　　　　　　　当且仅当x＝０； ( ２ ) 齐次性：对任意的实数a 有　　　　　　； ( ３ )三角不等式：对任意的向量　　　　有 §2.3 矩阵的条件数与方程组的性态 §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE / Norm of Vector and Matrix / 定理2.3.1 定理2.3.2 （等价性定理）设　　以及　 是　 上 的两种向量范数，则存在常数　　使得 对任何　　　成立． ?　　　　　　　　　　　　（p－范数）　　　　 ?　　　　　　　　　　　　（ －范数）　　　　 (连续性定理)设　是　　　的某种范数，则 　　是分量　　　　　　的连续函数． §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 定义2.3.2 对任意的矩阵　　　若对应一个非负的实值函数　满足： 则称　为矩阵A的范数或模　　 （1）非负性：　　　　　　　当且仅当A＝０； （2）齐次性：对任意的实数 有　　　　　　； （3）三角不等式：对任意的矩阵　　　　有 （4）对任意的　　　　　有 进一步，若对给定的矩阵范数　　，它与某 个向量范数　　　满足条件： （5） 对任意　　　成立，则称 矩阵范数　　与向量范数　　相容． §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE ?　　　　　　　　　　　　　　（F－范数）　　　　 ?　　　　　　　　　　　　（列范数或1－范数）　　　　 设　　　　　　　 常用的矩阵范数有： ?　　　　　　　　　　　　（行范数或　－范数）　　　　 ?　　　　　　　　　　　　　（谱范数或２－范数）　　　　 这四种矩阵范数满足矩阵范数定义的前四条他们与向量范数有下列相容关系: §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 定理2.3.3 ２．扰动方程的误差界 矩阵范数　　，　　，　　分别是向量 范数　　，　　，　的从属范数． 对线性方程组 ,① , 则有 , 但是 , 于是有 ② , 则有 ③ §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE ３．矩阵的条件数与方程组的性态 定义2.3.4 设Ａ是n阶非奇异矩阵，称数 为矩阵Ａ的条件数，其中　　为　　中的某种 矩阵范数． 当 时,有 §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 常用的条件数有： 矩阵的条件数具有下列性质 如果Ａ为实对称正定矩阵，则 （１）对任意的非奇异矩阵　　　　有 （２）对任意的非奇异矩阵　　　　及　　　，　　有 （３）对任意的正定矩阵Ａ，有 （４）设Ａ为非奇异矩阵，Ｐ为正交矩阵，则 §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE 矩阵的条件数与方程组的性态： 矩阵的条件数是线性方程组 的解对系数矩阵A及 右端项 b中有微小扰动时敏感性能的一种度量. 例 n阶希尔伯特(Hilbert)矩阵 其条件数为 定义 对线性代数方程组 ,如果系数矩阵A非奇异, 且条件数Cond(A)很大,则称 是病态方程组,或称 A为病态矩阵;如果条件数Cond(A)相对较小,则称 是良态方程组,或称A为良态矩阵. §2.3 Condition Number of Matrix and Character of LAE