第五章 线性代数方程组的直接解法4.ppt

?改进的平方根法(/*Modified Square Rooting Method*/) 当 时 令 Step1 Step2 Step3 时 Stepn 分解的实际计算公式： for for 求解方程组 等价方程组 先求解方程组 再求解方程组 方程组求解的实际计算公式： 例11：用改进的平方 根法求解下列方程组 解： 系数矩阵为 Step1 Step2 Step3 §4 用直接法解大型带状方程组 /*Direct Method for Solving Large Scale Band Systems*/ 一、大型等带宽带状方程组的分解方法 (等带宽/* Equidistant Band Width */带状方程组) 给定方程组 ，如果满足： 且 时， 则称 为上半带宽为 ，下半带宽为 的带状矩阵， 称为带状方程组； 如果 ，则称 为 的半带宽， 称为等带宽方程组； 为 的总带宽。 例如 上半带宽为2，下半带宽为1 总带宽为3 半带宽为t的等带状矩阵的一般形式: （保带状结构定理） 设 为上半带宽为 ，下半带宽为 的带状矩阵， 且其顺序主子式 ，则 有唯一的三角分解 ， 其中 是下半带宽 为 的单位下三角阵， 是上半带宽为 的上三角阵。 证明可根据前面讲过的三角分解公式 保带状结构定理说明：矩阵的三角分解中， 和 带外元素为零，因此不必计算，且不必参加求和运算 for 大型等带宽为t带状矩阵的 分解公式： Step1 Stepk 计算U的k行 计算L的k列 大型等带宽为t的带状矩阵的压缩存储方法： 用二维数组 存储带内元素，并要求： 在数组 中保持矩阵元素 的列号不变 ?常用的一种方法：带内主对角元素按行存储 因此，计算时需要确定带内元素 在 中的行号 注意到 为二维数组 的中间行号 所以， 在 中表示为 ?如果带状矩阵对称，按照方法?只需存储对角线以下 部分的带内元素，并保持矩阵元素 的列号不变。 此时，带内元素 在 中的行号 在 中表示为 二、三对角线性方程组的三对角算法（追赶法） 三对角线性方程组 其中 根据保带状结构定理，系数矩阵可作如下三角分解： ?三对角矩阵 分解的计算公式： ?方程组求解的计算公式： ?解方程组 ?解方程组 “追”的过程 “赶”的过程 ?追赶法实现的一个充分条件 设 为前述三对角矩阵，且满足下列条件： ? ? 则 非奇异，且 特殊情况：如果三对角矩阵 为严格对角占优矩阵，则可以采用追赶法求解。 证明： 即有 下面首先利用归纳法证明 由矩阵的三角分解知： 非奇异。 例12：用追赶法求解三对角方程组 , 其中: 解： 注意到本例并不满足定理5.17的条件,但仍然可以 利用追赶法来求解.因此,定理5.17的条件仅是充分 条件. * * 因为