第1节向量代数与空间解析几何基本概念.ppt

三. 向量的数量积、向量间的夹角 在前一节, 我们介绍了向量内积以及向量的模 (或长度). ??, ? ?R3, ? = (x1, y1, z1), [?, ? ] = x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ， ? = (x2, y2, z2), 由Schwarz 不等式, 知 因此可定义 ? 定义1. 易知 ? 下面分析cos(?, ? )的几何含义. ? 如果?, ? 都不为0向量, 且?, ? 不平行(即?, ? 线性无关), 则在空间直角坐标系中, 由原点O和?, ? 的终点A 和B 可确定?, ? 所在平面上的一个三角形OAB. ? ? ? A B O ? 由余弦定理, 知 2||? || ·||? ||cos? = ||? ||2+||? ||2 ?|| ? ||2 =2 (x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2) = 2 [?, ? ] ? 因此，(?, ? )可用来表示?, ? 正向之间的夹角. ? = 2? ? ? . 若? //?, 则? = ?? 或 ? = ??. 若? = ? ? , 又若? ? 0，则 ? ? ? =[?, ? ] [?, ?] = ? 2 [?, ? ] = ? [?, ? ] = ? 2|| ? || 2. = 1 ?0, ?1 ?0. = ? ||? ||2. ? 0 ? 0 ? ? 0 ? (? , ? )=0 ? (? , ? )=? ? 因此，? //? 时, (?, ? ) 仍表示? , ? 正向之间的夹角. ? ? ? ? 可定义： 若?=0, 仍可视(?, ? )为? , ? 正向之间的夹角. ? ? 其中，0≤(?, ? ) ≤?表示?, ? 正向之间的夹角. ? 例2. 解: 所做功 W = f1 ·s S F s F1 ? = ||F|| ·||S||cos (F, S) = F ? S. 例3. 求空间任意点? = (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角. 解: 在坐标轴上分别取三个单位向量 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 则 ? ? ? 如果 ? 是单位的, 即||? ||=1, 则 ? cos(?, i) = x, cos(?, j) = y, ? cos(?, k) = z, ? 如果 ? 不是单位的, 可进行单位化. ? ? = = (cos(?, i), cos(?, j ), cos(?, k) ). ? ? ? 易知 cos2(?, i) ? cos2(?, j) ? cos2(?, k) = 1. ? ? ? ? 的方向余弦及方向角, ? 与坐标轴夹角的余弦 例4. 设两点M1(2, 2, ), M2(1, 3, 0). 求向量M1M2 的方向余弦及与M1M2 反方向的单位向量. 解: ? = M1M2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 M1M2 反方向的向量为 将其单位化, 得单位化向量 向量在轴上的投影 M P u 点 P 为点 M 在轴上的投影. M1 M2 u1 u2 u ? u2? u1为M1M2在轴上的投影, 记为Proju? = u2? u1 . ? M1 ? o u1 ? u2 u o u1 u2 u M2 M2 M1 ? ? 性质： 2) 设? =(x, y, z), 则 Proji? =? ·i=x， Projj? =? ·j=y, Projk? =? ·k=z; 3) Proju(?+? )=Proju? + Proju? . 1) Proju? =? ·u0其中 u0 为与u轴同向的单位向量; * §1　向量及其运算 数量： 只有大小， 单用实数就可以表示的量。 向量： 既有大小， 又有方向的量。 考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。 o x y Q R Q：始点 R：终点 向量记为QR 若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x, y). o x y Q R P(x, y) 如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x, y)； 反之，平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量. 即 平面向量与平面上的点是一一对应的. 也即 二元有序数组(x, y)表 我们也称 (x, y) 为二维向量. 示了