第5篇 傅里叶变换应用于通信系统.doc

章 节 第五章 傅里叶变换应用于通信系统 1,3,4节 日期 教学目的 无失真传输和理想低通滤波器 教学重点 无失真传输和理想低通滤波器 教学难点 无失真传输和理想低通滤波器 教学方法 讲授 教学内容 第五章 傅里叶变换应用于通信系统 5.1 引言 为进一步研究系统滤波特性，引出傅里叶变换形式的系统函数。若： 引用傅里叶变换时域卷积定理可得出： (5-1) 这里，也称为系统函数，但以傅里叶变换形式给出。也可表示为的函数，只是函数变量表示形式不同，对于稳定因果系统（不包括临界稳定），将中的变量以取代，即可写出。 5.3 无失真传输 信号通过系统后，一般情况下系统的响应波形会与激励波形不同，即信号在传输过程中将产生失真。 线性系统引起的信号失真来源于两方面因素，一是系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变换引起幅度失真；二是系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化引起相位失真。 线性系统幅度失真和相位失真都不产生新的频率分量，这与非线性系统有本质差别。 信号通过线性系统发生波形的改变和频谱的改变，直接取决于系统本身的传输特性，即取决于系统的冲激响应或其系统函数。 下面以阶越信号通过RC低通滤波器为例，讨论信号波形通过系统产生失真的问题。电路如图5-1(a)所示。 由(5-1)可知： 阶越信号傅氏变换： 则有： 取傅氏逆变换： 相应的波形如图5-1(b)。波形失真的原因是由于电路的幅频特性和相频特性不满足无失真传输的条件。 信号的无失真传输：指响应信号与激励信号相比，只是大小（幅度）与出现的时间（时间的延迟）不同，而无波形上的变化。即，无失真传输的条件： (5-2) 下面讨论为满足上式，对系统函数的要求。 设响应与激励信号的傅氏变换分别为，有傅氏变换的延时定理上式可以得出： 而由上节有： 所以： (5-3) 上式就是系统实现无失真传输必须具备的条件。该系统函数的幅值和相角分别为： (5-4) 上式表明，为实现无失真传输，在全部频带内，系统函数的幅频特性应为一常数，而相频特性应为通过原点的直线。如图5-2所示。 物理概念上的解释：由于系统函数的幅度为常数，因此响应中各频率分量幅度的相对大小将与激励信号的情况一样，因而没有幅度失真。要保证没有相位失真，必须使响应中各频率分量与激励中各对应分量滞后相同的时间，这一要求反映到相位特性是一条通过原点的直线。 由于系统的冲激响应是系统函数的傅氏变换。对式(5-3)取傅氏逆变换，得： 上式表明，无失真传输系统的冲激响应也是冲激信号，它是输入冲激信号的倍，并延时了时间。 5.4 理想低通滤波器 （一）理想低通滤波器的频域特性和冲激响应 实际系统的系统函数其幅频特性不可能在无限大的频宽中保持常数，在工程中无失真传输的含义是传输带宽与信号有效带宽相匹配，即在有限频宽中保持常数，这就是理想低通滤波器。所谓理想就是将滤波网络的某些特性理想化而定义。理想滤波器可按不同的实际需要从不同角度给予定义，最常用到的是具有矩形幅度特性和线性相移特性的理想低通滤波器。这种低通滤波器将低于某一频率的所有信号予以传送，而无任何失真，将频率高于这一值的信号完全衰减，如图5-3。称为截止频率。相移特性满足无失真传输要求，是通过原点的直线。其网络函数表示式为： 其中， ； 低通滤波器的冲激响应： 对上式进行傅氏逆变换，可求得网络的冲激响应： 波形如图5-4所示，是一个峰值位于时刻的抽样函数。 从上式可以看出，响应先于激励而出现，实际当然不可能出现。“未卜先知”情况是由于采用了实际上不可能实现的理想化传输特性所致。 （二）理想低通的阶跃响应 已知理想低通滤波器的网络函数： 又已知阶越信号的傅氏变换： 因此： （） 对上式求逆变换： 上式第一项由冲激函数筛选特性可进行化简，第二项可利用欧拉公式进行转化，得到： 原式 该式第一项积分为奇函数，积分为零。后一项积分为偶函数，有： 正弦积分： 其波形见书P277。可看到该函数为奇函数，随自变量增大，函数值从0增长，以后围绕起伏，并衰减趋向于，各极值点与抽样函数零点对应。因此阶跃响应可写作：P277图5-11(b)。 定义输出由最小值到最大值所需时间为上升时间，由图可知： 这里，是将角频率折合成频率后的滤波器带宽。由图可以看出，上升时间与系统的截止频率（带宽）成反比。 一般讲，阶跃响应的上升时间与带宽不能同时