傅里叶变换及其应用.pdf

★★★★ 教育战线 傅里叶变换及其应用 ◆徐小蓉 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要 变换和离散傅里叶变换。[1] 的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首 傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数 先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其 的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的 次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物 解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还 理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非 原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分 齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不 解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦 同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科 函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利 学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作 用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研 用。最后对本文所讨论的内容进行了总结。 究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 有非常好的性质： 一、傅里叶变换 （1）傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转 还是酉算子； 化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来 （2）傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正 达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通 变换非常类似； 过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数 （3）正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得 学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为 线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的 代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程 求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性 和其它方程的求解中成为重要方法之一。 质, 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对 傅里叶变换是积分变换中常见的一种变换，它是 不同频率正弦信号的响应来获取； 一种对连续时间函数的积分变换，即通过某种积分变 （4）著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂 换，把一个函数化成另一个函数，同时还具有对称形式 的卷积运算为简单的乘积运算, 从而提供了计算卷积 的逆变换。它通过对函数的分析来达到对复杂函数的 的一种简单手段； 深入理解和研究。它既能简化计算，如求解微分方程， （5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机 化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义，不仅 快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。 在数学的许多分支中，而且在自然科学和各种工程技 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、 术中都有着广泛的应用，因此它已成为不可缺少的运 数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、 算工具。 光学等领域都有着广泛的应用。 1.1 傅里叶变换的提出及发展 1.2 傅里叶变换的基本概念 1804 年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业 由傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅 上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。他在题为 里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个周期函数 《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出 其周期趋向于无穷大转化而来。根据这个思路，我们可 如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可 以得到傅里叶积分