《微积分》教案.doc

准备知识 §1.1 集合与符号 一、集合 1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合； 组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母、、…表示集合； 用小写字母、、…表示集合的元素． 是集合的元素，记为(读作：属于); 不是集合的元素，记为(读作：不属于)． 3．集合间的关系 （1）子集合：如果集合的任何元素都是集合的元素，那末我们就说是的子集合，简称为子集，记为 读作包含于）, 或者 （读作包含）． （2）相等：如果集合的任何元素都是集合的元素，并且集合的任何元素也都是集合的元素（即并且），那末我们说集合与集合相等，记为 ． 我们约定：空集合是任何集合的子集，即 ．N ——自然数集; Z ——整数集; Q——有理数集; R——实数集; C——复数集． 把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z，Q和R,显然有 NZQRC．NZQR． 名 称 定 义 有限区间 开区间 闭区间 半开区间 半开区间 无限区间 开区间 闭区间 开区间 闭区间 3．邻域 设 R， 数集 称为的邻域，记为 ==, 称为邻域的中心；称为邻域的半径。 当不需要注明邻域的半径时，常把它表为，简称的邻域．表示在的邻域中去掉的集合，称为的去心邻域，记作 ==-， 时，常将它表为，简称的去心邻域． ”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”． 成立，则命题成立;或命题蕴涵命题;称是充分条件，同时也称是的必要条 例如：是整数是有理数 符号“”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”． 表示命题与命题等价;或命题蕴涵命题（），同时命题也蕴涵命题（） 例如：任意，有． 2.量词符号 符号“”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母倒过来． ”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母反过来． 应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．有上界、有下界和有界的定义： 数集有上界 R，，有． 有下界 R，，有． 有界，，有． 既有上界，又有下界。 请试证明，上面两者等价。 3． max与min 符号“max”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）．min”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）． 是个数．max{}——个数中最大数．min{}——个数中最小数． ． ！！ 符号“！”表示“不超过的所有自然数的连乘积”，读作“的阶乘”即 ！=（-1）…3·2·1． 7！= 7·6·5·4·3·2·1．！！”表示“不超过并与有相同奇偶性的自然数的连乘积”，读作“的双阶乘”，即 （2-1）！！=（2-1）（2-3）…5·3·1．-2）！！=（2-2）（2-4）…6·4·2． 9！！= 9·7·5·3·1, 12！！=12·10·8·6·4·2． 规定：0！=1． 5． 在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如1+2+…+或者 等． ， ．仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把换成别的符号 ，等，也同样表示同一和或同一乘积，例如 　　， ．． ． 阶乘!的定义可以写成 ！=． 二项式定理可以表示为 ， 其中 ． §1.2 函数 一、函数概念 1．量　 在我们的研究过程中，变化的量称为变量； 不变化的量称为常量 而函数是考察变量之间关系的重要概念。 2．引例 例1 自由落体，物体下落的时间与下落的距离互相联系着 其中是重力加速度，是常数． 如果物体距地面的高度为， ，都对应一个距离． 与该球的体积:其中是圆周率，是常数． [0，] 都对应一个球的体积． 上面两例来自于不同的问题，但是他们确有共同之处，我们将其抽象出来，便是函数的概念。 3．定义 设是非空数集．若存在对应关系，对中任意数（），按照对应关系， 对应唯一一个 R，则称是定义在上的函数，表为 R, （1）数对应的数称为的函数值，表为； （2）称为自变量，称为因变量；　 （3）数集称为函数的定义域，函数值的集合 称为函数的值域。 根据函数定义不难看到，上述四例皆为函数的实例． 关于函数概念的几点说明: （1）函数的符号可简化：为方便起见，我们约定，将 “是定义在数集上的函数”，用符号 “，”表示．当不需要指明函数的