第十章 3复合函数微分法.ppt

* 复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： 链式法则如图示 称为标准法则或 这个公式的特征： ⑴函数 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 两个公式； ⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有 ⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘” 特殊地 其中 即 令 两者的区别 区别类似 注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形 如 则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关 关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式 ①用图示法表示出函数的复合关系 ②函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 解 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的 从而为解题带来很多方便，而且也不易出错 例5 设 各函数满足求导条件 求 解一 变量间的关系如下图所示 这里变量间的关系比较混乱 用全微分来解 由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 *