第十章双线性函数.doc

第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V是数域P上线性空间，映射：VP满足 ①(+)=()+() V ② ()=k() V，kP 则是V上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： 设是V上的线性函数，则(0)=0， 如果的线性组合： ，那么 定理 设V是P上一个n维线性空间，是V的一组基，而是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数使()= 线性函数空间 设V是数域上P线性空间，V上的全体线性函数的集合记为L(V, P), 定义 ⅰ）加法 ()()=()+() L(V, P) V ⅱ）数乘， 则 也是一个 p上的线性空间。并称 为的对偶空间。 对偶基 设为 的一组基，定义 =，则是的一组基。称 为的对偶基。 定理 的维数等于的维数，而且是 的一组基 定理 设 及 ,,是线性空间的两组基，它们的对偶基分别与及。如果由到,,的过渡矩阵为A ，那么由到的过渡矩阵为 4. 双线性函数 设是数域 P上一个线性空间。是上一个二元函数，即对中任意两个向量都唯一地对应P 中的一个数。记为。如果有以下性质： ①=k+k ② 则称 为 上的双线性函数。 设 是数域 上 维线性空间上的一个双线性函数，是的一组基，则矩阵 A= 叫做在下的度量矩阵。 5 对称双线性函数 是线性空间 上一个双线性函数，如果对中任意两个向量 都有 = 则称为对称双线性函数。如果对中任意两个向量都有 =━ 则称 为反对称双线性函数。 定理 设是数域P上维线性空间。 是上对称双线性函数，则存在的一组基使在这组基下的度量矩阵为对角阵。 推论1 设 是复数域上n维线性空间，是 上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量=，=，有 =(0) 推论2 设 是实数域上 维线性空间， 是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量 =，=，有 定理 设 f 是 维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基,使 设是数域 P上的一个线性空间，在上定义了一个非退化的双线性函数，则称为一个双线性度量空间。特别地当为 维实线性空间，是上非退化对称双线性函数时， 称为伪欧氏空间。 二 例题选讲 例1 设是一个线性空间， 是中非零向量，试证：存在 使 ,=1,2,S 证 对 S用数学归纳法 当 S=1 时 所以存在 使 即 S=1 使命题成立 假定当 S=K时命题成立。即存在 使 i=1,2,K 下证S=K+1时，命题成立 若 则命题得证。 若 但由知存在使设 总可取数C 使a,=1,2,K令 且 归纳法完成 设是数域 P上的线性空间的非零向量，证明：有使 证 因为 , 是中的非零向量，所以是的对偶空间中的非零向量。由例1知，存在 使 即(), 设是一个n 维欧氏空间，对中确定的向量 定义一个函数 ： 证明：是上的线性函数； 证明：到的映射： 是到的同构映射（在同构的定义下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）。 证 是上的线性函数。 （2）先证 是单射。事实上，设 而 所以有 ，即 得到 。对于 ，从而 矛盾。 又 ， 而 同构。 例4 设是数域P上n维线性空间 V的一个线性变换 （1）证明：对V上的线性函数，仍为V上的线性函数； （2）定义 v到自身的映射为： 证明是v上的线形变换； （3）,, 是V 的一组基，是其对偶基，并设在下的矩阵为。证明：在下的矩阵为A(称的转置映射)。 证 （1）令g()=(())） ,V kP g(+)=((+))=(()+())=(())+(()) =g()+g() , g(k)=((k))=(k())=k(())=kg() 是V上的线性函数。 （2） h,hV, k,P V (kh+h)()=kh()+h()=(kh+h)() 是V的线性函数。 （3）由条件()=()A A=() ()=()B B= 有 ()=()=()=a ()()= 故 有 例5 设,,是线性空间V的一个基，是它的对偶基，今给出V中向量 =– =++ =+ 试证,,是V的一个基，并求它的对偶基。 解 因为( )=( )=( )A 而0所以,,线性无关，故它是 V的一个基。 因此A是,,到,,的