第十章常微分方程概率论应运而生9.ppt

第十章 常微分方程、偏微分方程、积分方程、概率论的应运而生 数学来源于实践 微积分学、线性代数来源于实践。在解决实际问题的过程中又得到了发展。于是常微分方程、偏微分方程、积分方程、便应运而生。概率论的产生特殊一些，但也来源于实践，即使不是生产实践。 §1、常微分方程 所谓常微分方程（ordinary differential equation），是指包括一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微商的等式。 常微分方程几乎是同微积分同时发展起来的。 早在牛顿、莱布尼茨创立微积分之时，他们就已经接触到常微分方程了。牛顿提出的“由含流数的方程求流量之间的关系”实际上就是一个通过含有导数的方程（常微分方程）来求原函数的问题。 “微分方程”的名称最早是由莱布尼茨提出的，他曾尝试用现在的“求积分法”来解某些类型的一阶常微分方程。 1、17世纪到19世纪中叶—求解阶段（1） 与其他方程一样，在研究微分方程一开始，人们就把精力集中在求微分方程的解。 1690年，詹姆士.伯努利对微分方程 两边求积，求出了这个方程的解。 17世纪，莱布尼茨及伯努利兄弟在微分方程已经取得不少成就。1691年，莱布尼茨想到了微分方程的变量分离法，1694年，约翰研究了变量分离法，1695年，詹姆士提出了著名的伯努利方程。 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（2） 18世纪关于微分方程论最杰出的工作属于欧拉。欧拉给出了有关全微分方程的一系列理论，其中包括全微分方程的概念、判别条件、通过积分因子将一个非全微分方程化为全微分方程的方法。欧拉还是微分方程近似解法的创始人，---1750年欧拉又给出了我们现在通用的微分方程的级数解法。 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（3） 18世纪对微分方程做出卓越贡献的还有拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯。 拉格朗日在微分方程上的突出贡献是：通过常数变易法求变系数微分方程的特解；深入地研究了奇解的性质，给出了由方程自身或由通解求奇解的方法，并从几何观点出发，把奇解解释为积分曲线的包络；他关于三体问题的研究及一些精确结果丰富了微分方程的内容。 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（4） 拉普拉斯在微分方程上的重要贡献是从行星运动入手研究微分方程组，后来，他又创立了拉普拉斯变换，这对解微分方程起了重大作用。 拉普拉斯与拉格朗日是巴黎师范学院的同事，他们有经常的联系，但是他们的个性与工作很不相同。 拉格朗日 拉格朗日是法国数学家、力学家、天文学家，1736年1月25日生于意大利的都灵，祖父是法国人，祖母是意大利人。1813年4月10日卒于巴黎。 拉格拉格朗日是一个治学严谨的数学家，他写作时很精心，写得很清楚、很优美。 拉普拉斯---拿破仑的主考 1749年3月23日生于法国的诺曼底，1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯的虚荣心，使他不能充分肯定他对手的工作，他利用了拉格朗日的许多概念而不作声明；他创造了许多新的数学方法，后来发展成为数学的分支，但是他在遇到数学问题时，解决得比较随便，仅仅说：“容易看出---”，他仅仅把数学问题当成副产品。当拿破仑问拉普拉斯在《天体力学》中为什么没有提到“上帝”时，他非常直截了当地回答：“我不需要这种假设”。 对拉普拉斯的评价 拉普拉斯大学毕业后到处找不到职位，他就给达朗贝尔写信并附上一篇论文。达朗贝尔由于欣赏他的才华，复了一封充满热情的信，说：“你用不着别人介绍，你自己就是很好的推荐书。” 革命后他任巴黎高等师范学校教授，还当过内政部长、议会委员、议会大臣并被封为伯爵。1814年又被路易十八封为侯爵和贵族。“---作为一个政治上的机会主义者，在法国革命动荡不安的日子里，无论那个党偶然得势，他都去逢迎。”（伊夫斯：《数学史概论》，P327） 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（5） 18世纪，在微分方程上做出贡献的还有贝塞尔（微分方程的级数解法）、台劳（微分方程的奇解）、克莱罗（克莱罗方程的通解与奇解）、达朗贝尔（非齐次线性微分方程及微分方程组的通解）、黎卡提（关于 ) 。通过上述工作，微分方程已经可以脱离微积分而成为数学的一个重要分支。 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（6） 19世纪，是微分方程严格理论的奠基时期。 解的存在性：给定一个微分方程，它在给定的初始条件和边界条件下是否有解？ 第一个考虑微分方程解的存在问题的是哥西。 德国数学家利普希茨把哥西条件做了适当减弱，得出所谓“利普希茨条件”。 1890年法国数学家皮卡又给出了确定微分方程解的存在性的第三个方法—逐次逼近法，皮卡逐次逼近法还提供了可以估计误差的近似解的求法，为微分方程的数值解法奠定了基础。 17世纪到19世纪中叶—求解阶段（7） 有了存