数学建模与 席位分配问题 .ppt

2.3 公平的席位分配 模型分析 存在公平的分配方法么？ 1）比例加惯例法（H法）——悖论 2）Q值法——存在不合理 3）其它方法：D’hondt方法 理想化原则——不存在完全“合理”的分配方法 练习 构造分析方法建模 进行量化处理，需要构造度量 构造度量遵循原则： 1）严谨，公平，有公信力； 2）尽量简单，便于操作； 3）能准确反映各方差异。 扎实的数学功底及开创性思维 * * 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？ 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数 1 问题的提出（美国宪法 1788） 20个席位的分配结果 (20/100)?20=4 (30/100)?20=6 (50/100)?20=10 分配方案 40/200 40 丙 60/200 60 乙 100/200 100 甲 席位数 所占比例 人数 系别 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 17.0%?20=3.4 31.5%?20=6.3 51.5 %?20 =10.3 分配方案 34/200=17.0% 34 丙 63/200=31.5% 63 乙 103/200=51.5% 103 甲 席位数 所占比例 人数 系别 10 6 4 10 6 4 现象1 丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！） Halmiton(1790) 先按整数分配 再按余数较大者分配 由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果（Halmiton方法） 17.0%?21=3.570 31.5%?21=6.615 51.5 %?21 =10.815 分配方案 34/200=17.0% 34 丙 63/200=31.5% 63 乙 103/200=51.5% 103 甲 席位数 所占比例 人数 系别 11 7 3 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法（Halmiton方法） ：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？ 2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。 34/4=8.5 63/6=10.5 103/10=10.3 每席位代表的人数 4 6 10 席位数 好 34 丙 差 63 乙 中 103 甲 公平程度 人数 系别 40/4=10 60/6=10 100/10=10 每席位代表的人数 4 40 丙 6 60 乙 10 100 甲 席位数 人数 系别 34/3=11.33 63/7=9 103/11=9.36 每席位代表的人数 3 7 11 席位数 差 34 丙 好 63 乙 中 103 甲 公平程度 人数 系别 一般地， 每席位代表的人数 席位数 B A 人数 单位 当 席位分配公平 但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。 此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。 100 10 1000 D 102-100=2 102 10 1020 C 10 10 100 B 12-10=2 12 10 120 A 绝对不公平标准 每席位代表的人数 席位数n 人数p 单位 C,D的不公平程度大为改善！ 2） 相对不公平 表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A是不公平的。 定义“相对不公平度” 对A的相对不公平值； 对B的相对不公平值； 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 3 模型构成 若A、B两方已占有席位数为 用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。 不失一般性， 有下面三种情形。 情形1 说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 情形2 说明当对A不公平时，给A单 位增加1席，对B又不公平。 计算对B的相对不公平值 情形3 说明当对A不公平时，给B单 位增加1席，对A不公平。 计算对A的相对不公平值 则这一席位给A单位，否则给B单位。 结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。 记 则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值法。 若A、B两方已占有席位数为 4 推广 有m方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1席时，计算 则1席应分给Q值最大的一方。 开始，即每方至少应得到1席， （如果有一方1席也分不到，则