数学物理与方法 保角变换法 .ppt

第十一章 求解定解问题的其它解法 求解数理方程，除了行波法、分离变量法外，还有其他的常用解法： 格林函数法； 积分变换法； 保角变换法等一些解析法。 11.1 保角变换法求解定解问题 在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换法求解． 例题1 例题2 (5) 幂函数变换 令 则 该变换的特点是把z平面的圆周变换成w平面的 圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以 原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角 形域，但其张角为原来的的n倍。 因此，指数变换的特点是：把水平的带形 城 变换成角形 对于对数变换 取极坐标系 则 故 可见：在w平面上 常数的直线在 z 平面表示 一族圆；＝常数表示一族径向射线。 解：用保角变换法 由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。 将z平面上的圆变成w平面上的直线区域， 其宽度为 。其间的电势满足 所以，利用平行板电容器计算公式，得单 位长度的电容为 其中 例4 用保角变换法求解下列定解问题： （3）再作变换 把 平面的上半平面变成 平面上平行于实轴，宽为 的一个带形区域，其边界的 变换是将 平面的正半实轴变换为 平面的实轴， 平面的负半实轴变换为 平面的平行于实轴的直线 所以，在变换 之下，定解问题变换为 定解问题的解（仿上例）为 将变量回到 平面，则 化成极坐标形式，则上式又改写成 　　从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题， 不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界 所围成的区域变换成上半平面的带形域 问题就容易解决了． y x 例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径 分别为R1、R2，电势分别为 、 。求导体内 任一点的电势。 * * 保角变换法解定解问题的基本思想： 通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的 边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换 就求得了原始定解问题的解． 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法。 保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适合于分析平面场的问题。 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍． 复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。 11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从Z平面到W 平面的变换在 的点具有保 角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一 对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是单值 函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶． 定理11.1.1 如果将由 到 的保角变换看成为二元（实变）函数 的变换由 到 的变量代换，则 平面上的边界变成了 平面上的边界．我们能证明，如果 程，则经过保角变换后得到的 满足拉普拉斯方 也满足拉普拉斯方程． 【证明】 利用复合函数求导法则有 (11.1.1) 同理 (11.1.2) 两式相加得到 （11.1.3） 利用解析函数 的C-R条件 (11.1.4) 以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质 (11.1.5) 将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到 注意到上式已经使用了： 对于保角变换 因而只要 满足拉普拉斯方程，则 ）也满足拉 普拉斯方程，即为 （11.1.6） 这样我们就有结论：如果在 平面上给定了 的拉普拉斯方程边值问题， 则利用保角变换 ，可以将它转化为 平面上 的拉普拉斯方程边值问题． 同理可以证明，在单叶解析函数 变换下，泊松方程 (11.1.7) 仍然满足泊松方程 （11.1.8） 由上式可知，在保角变换下，泊松方