数学物理方法傅里叶变换法.ppt

*积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。积分变换法*傅里叶变换（1）导数定理（2）积分定理（3）相似性定理位移性定理01卷积性定理02（4）延迟性定理用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是例1求解无限长弦的自由振动解：应用傅里叶变换，即用同乘方程和定解条件中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于第一节傅里叶变换法定解问题变换成：对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：010203代入初始条件可得：其中的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：分别是故的傅里叶变换，这样原来达朗贝尔公式例2求解无限长细杆的热传导问题解：作傅里叶变换，定解问题变为：此常微分方程的初始问题的解为进行傅里叶逆变换可得：交换积分次序积分公式：01例302求解无限长细杆的有源热传导问题03解：04作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：05令06利用上述公式可得01020304对t积分一次，并考虑零初始值可得：进行傅里叶逆变换交换积分次序可得：用同乘方程各项，可得：是单位面积硅片表层原有杂质总量.01例402限定源扩散03在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可04硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题:05有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入06以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已07并利用积分公式可得最后的结果为：解:01第二类齐次边界条件02这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题03则04引用例2结果可得05高斯函数06没有杂质穿过硅片表面,即:硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例5恒定表面浓度扩散在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.度趋于均匀,曲线下的面积为2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓的分布情况,曲线1对应于较早的时刻是半无界空间x0中的定解问题于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令1解2则化为关于w的定解问题:3引用例2结果可得这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即第二个积分中令01则有02被积函数是偶函数,故03误差函数04记做erfx,则w可写为:05所求的解如下:06第一个积分中令余误差函数记做erfcx,则有硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中例6泊松公式求解三维无界空间中的波动问题明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线)的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚分布情况,曲线1对应于某个较早的时01解02做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题03这个方程的解为04再进行傅里叶逆变换利用5.3例1的结果应用延迟定理出现对的积分只要在球面上进行以r为球心(矢径r),半径为at为球面的面积元,此即泊松公式.三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式然后拿初始扰动按泊松公式在球面上积分,波动以速度a传播,只有跟点r相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到rrdDT0初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0跟T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋没有到达r,当d/atD/a,跟T0相交,扰动到达r,当tD/a,包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明球心,以at为半径作球面求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为扰动已经过去.最小距离为d,最大距离为D,当td/a,*