第七章自旋与全同粒子.ppt

第七章 自旋与全同粒子 § 7.2 电子自旋算符和自旋函数 § 7.3 简单塞曼效应 § 7.4 两个角动量的耦合 § 7.5 碱金属光谱的精细结构 § 7.6 全同粒子体系的特性 § 7.7 全同粒子体系的波  函数 泡利原理 3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换 对于确定的j1和j2,在 维子空间， 上式中 称为矢量耦合系数或克来 布希—高登（Clebsch—Gordon）系数 表象变换矩阵元，不改变维数： ①无耦合表象→耦合表象 ②耦合表象→无耦合表象 三、 的本征值 对于确定的 和 ，总角量子数 的取值系列为 例如，电子的轨道和自旋的总角动量 当 当 称为角量子数条件 。 证明：先证明m=m1+m2 于是有： 2.再证明 则 的可能取值为 所以 3.最后证明 因此， 的取值系列为： 都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象中 的基矢） 本节中我们讨论在没有外场的情况下，电子自旋对类氢原子 的能级和谱线的影响。 一、不考虑电子自旋与轨道相互作用 类氢原子的哈密顿量： 其中 是自旋 的本征值， 是磁量子数。 电子能级（H0的本征值） En只与n有关，不计电子自旋，这 个能级是n2 度简并的。如果考虑了电子的自旋，ms 可取两 个值，因而能级En 是2 n2 度简并。 二、考虑电子自旋与轨道相互作用的情况 自旋和轨道之间的相互作用能量是： 于是，体系的哈密顿写为： 式子中 哈密顿中的 称为自旋轨道耦合项，由于该项的存在， 和 都不和 对易，所以电子的态不能用量子数 和 来描写。 另一方面 所以 都和 对易， 和 都是好量子数。 相互对易， 的本征函数的角度与自旋部分 可选为耦合表象的波函数。 故 的本征方程为： 当 给定后（ 也一定），求解此方程便可得到能量本征 值，它与（n,l,j）有关，设为 ，是 度简并的。当n和 L给定后，j可取两个值；j=l±1/2(l=0除外)，即具有相同的量 子数n,l的能级有两个，它们之间的差别很小，这就是产生光 谱线精细结构的原因。 原子中， ，因此有 计算表明： 随Z增大，且 增大时， 电子的分裂都很小。 一、多粒子体系的描写 假设我们有 个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关： 其中“坐标” 包括粒子的空间坐标 和自旋量子数。体系的Hamiltonian是： 由此即可写下体系的Schr?dinger方程。 二、全同粒子的不可区分性 1、全同粒子；质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。 2、全同粒子体系：电子系、质子系、中子系、光子系、电子 气、中子星等等。显然，对于全同粒子体系，哈密顿中的 都相同， 也都有相同的组成，但是在量子力学中，全 同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各自有自己的轨道。但是在量子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。所以，在量子理论中有“全同粒子不可区别性原理”： 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候，这些全同粒子是不可区别的。 三、波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 ，它的作用是把波函数中的第i个粒子和第j个粒子的坐标交换位置： 那么全同粒子的不可区别性告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区别的，所以，按照量子力学的基本原理， 而 所以 解得， 也就是说， 若 ，则称