自旋和全同粒子.doc

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影sz只能取两个值 ； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)?s 它与自旋角动量S间的关系是： , (7. 2) , (7. 3) 式中(? e )：电子的电荷，me：电子的质量，：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） , (7. 4) gs = – 2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。 ● 自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。 二 电子自旋态的描述 ? ( r, sz )：包含连续变量r和自旋投影这两个变量， sz只能取 ?这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于，波函数写为 ● 若已知电子处于，波函数写为 ● 概率密度 ：电子自旋向上(且位置在r处的概率密度； ：电子自旋向下(且位置在r处的概率密度。 ● 归一化条件 , (7. 6) where (7. 7) 是式(7. 5)所示的电子波函数的厄米共轭。 如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分之和，或者不包含自旋变量，则该体系的波函数可以分离变量，即 . (7. 8) : 描述自旋态的波函数，其一般形式为 , (7. 9) 式中 和：电子的sz等于和的概率。 归一化条件可以表示为 . (7. 10) 其中 表示自旋波函数的厄米共轭。 ● 自旋态空间的一组正交完备基 sz的本征态: , 本征值 ， ， 本征值 (7. 11) ? 和? 构成了电子自旋态空间的一组正交完备基. 式(7. 9)所表示的一般的电子自旋态可以用它们来展开 . (7. 12) 于是，式 电子旋量波函数 可以表示为 . (7. 13) 三 自旋算符与泡利矩阵 1、 自旋算符 自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量，在量子力学中就要用一个算符来描写。 ● 的对易关系 自旋角动量是角动量，满足轨道角动量算符满足的对易关系 , , (7. 14) . ● 的本征值 由于自旋角动量S在空间任意方向上的投影都只能取两个值，所以和三个算符的本征值都是，它们的平方都是，即 . (7. 15) 由此可得自旋角动量平方算符的本征值是 . (7. 16) 令 , (7. 17) 则有 . (7. 18) 与轨道角动量平方算符的本征值 相比较可以看出，这里的量子数s与角量子数l相当，因此通常把s称为自旋量子数。电子的自旋量子数s只能取一个数值s = 1/2. 2 、 泡利算符（无量纲）的代数性质 . (7. 19) 将此式的分量形式代入式(7. 14)，得到泡利算符各分量所满足的对易关系 , , (7. 20) ； 由于S沿任何方向的投影都只能取，所以? 沿任何方向的投影都只能取?1. 于是，和的本征值都是?1，而和的本征值都是1 . (7. 21) 用左乘和右乘式(7. 20)的第二式，并利用式(7. 21)，可得： , . 再将以上两式相加，可得 ， 即与彼此反对易。类似地可以求出其他两个式子。概括起来，泡利算符的三个分量彼此反对易，即 , , (7. 22)