【精选】矢量分析与场论讲义——高教社出版第3版(谢树艺).pdf

矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。   2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 ，但在后边场论 A t 部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函 数  或者  ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 A x, y A x, y, z 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。   3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢 的几何意 A t     义，即 是位于 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 A t A t 上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s，即矢性函数成为  ，则 A A s dA A  不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位 s  ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。       4 矢量 保持定长的充分必要条件是 与其导矢 互相垂直。 A t A t A t 因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数   为单 e t cost i sint j 位矢量，故有     ，此外又由于    ，故     。（圆函 e t  e t e t e t e t  e t 1 1 数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函 数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A Bdt  A B  B  A dt   A Bdt  A B  B  A dt   前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减 变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量 构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量 与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量 分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性 函数构成一一对应