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第一章 矢量分析与场论 实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。 本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。 1.1 矢量及其代数运算 一、标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量可以写成 （1-1-1） 其中是矢量的大小，的大小等于1，代表矢量的方向。 一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量、和表征矢量分别沿、和轴分量的方向。 空间的一点能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。从原点指向点的矢量称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为 （1-1-2） 式中，和是在、和轴上的标投影。 任一矢量在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量的三个分量分别是、、，利用三个单位矢量、、可以将矢量表示成： （1-1-3） 矢量的大小： （1-1-4） 二、矢量的代数运算 1 矢量的加法和减法 任意两个矢量与的相加等于两个矢量相应分量相加，它们的和仍然矢量，即 (1-1-5) 任意两个矢量与的相减，把其中的一个矢量变号后再相减就得到它们的差，即 (1-1-6) 2 矢量的乘积 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 标量积(scalar product) 任意两个矢量与的标量积是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们的夹角的余弦之乘积，如图1-2，记为 (1-1-7) 标量积也称为点积（dot product），如果两个不为零的矢量的标量积等于零，则这两个矢量必然相互垂直，或者说两个互相垂直的矢量的点乘一定为零。 例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： (1-1-8) 若用矢量的三个分量来表示标量积： (1-1-9) 标量积服从交换律和分配律，即 (1-1-10) (1-1-11) 矢积（vector product） 任意两个矢量与的矢积是一个矢量，它的大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积，它的方向垂直于矢量与组成的平面，如图1-3，记为 (1-1-12) （右手螺旋） 矢积又称为叉积(cross product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。 矢量叉积不服从交换律，但服从分配律，即 (1-1-13) (1-1-14) 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： (1-1-15) 矢量叉积还可以用行列式来表示： (1-1-16) 矢量的其它运算详见附录2。  1.2 柱坐标系和球坐标系 在实际应用中，有时采用圆柱