差分与等距结点插值公式.ppt

上面讨论的是节点任意分布的Newton插值公式，但在实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，这时，Newton插值公式的形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。 1、定义：设有等距节点xk =x0+kh (k=0,1,…,n)，步长h为常数，记fk = f (xk)，称相邻两个节点xk, xk+1处的函数值的增量fk+1 ? fk(k = 0,1,…,n-1)为函数f (x)在点xk处以h为步长的一阶差分，记为?fk，称为向前差分： 一、差分及其性质 向前差分 一般，以k阶差分定义k +1阶差分： 常用的差分还有两种： 向后差分： 另介绍不变算子I和移位算子E 运算 于是 2、性质 性质1：各阶差分均可表成函数值的线性组合。 性质2：可以利用各阶差分表示函数值。 性质3：差商和差分的关系。 性质4：差分和导数的关系。 3、差分表的构造 xk fk=f(xk) ? fk ?2fk ?3fk ?4fk …… x0 f0 x1 f1 ?f0 x2 f2 ?f1 ?2f0 x3 f3 ?f2 ?2f1 ?3f0 x4 f4 ?f3 ?2f2 ?3f1 ?4f0 … … … … … … … 向前差分表 xk fk=f(xk) ▽fk ▽2fk ▽3fk ▽4fk …… x0 f0 x1 f1 ▽f1 x2 f2 ▽f2 ▽2f2 x3 f3 ▽f3 ▽2f3 ▽3f3 x4 f4 ▽f4 ▽2f4 ▽3f4 ▽4f4 … … … … … … 向后差分表 例 -0.105361 0.90 6 0.117783 -0.015748 -0.223144 0.80 5 0.004872 0.133531 -0.002678 -0.020620 -0.356675 0.70 4 0.002425 0.007550 0.154151 -0.003534 -0.005103 -0.028170 -0.510826 0.60 3 0.005959 0.012653 0.182321 -0.011062 -0.040823 -0.693147 0.50 2 0.023715 0.223144 -0.064538 -0.916291 0.40 1 0.287682 -1.203973 0.30 0 △6 △5 △4 △3 △2 △ lnxi xi i 向后线 中心差线 0.007550 注 ：（1）前差，后差，中心差之间是紧密联系的，都在一个表中，差分值所在的列数为差分的阶数。要确定某个差分值是哪个点的差分，则： 对向前差分：要看左上斜线上函数值对应的自变量值 对向后差分：要看左下斜线上函数值对应的自变量值 对中心差分：要看左方水平线上的自变量值，若正好 是空档，则是相邻两个自变量值的算术 平均值。 作y = ln x的差分表，步长h = 0.1 向前线 二、等距节点插值公式 如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。 但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被插值点靠近数据表头时，当然考虑用表初的那些点作为插值点；而当被插值点接近数据表尾时，应先选用表尾的那些点作插值点，这样就有Newton向前及向后插值公式。 1.牛顿向前插值公式 设已知节点xk =x0+kh (k=0,1,2,…,n) 牛顿向前插值公式 若令x =x0+th，则上式又可变形为： 其余项为： 2.牛顿向后插值公式 牛顿向后插值公式 其余项为： Newton向前、向后插值公式均是Newton插值公式在等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将下表中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得Newton向前插值公式，而Newton向后插公式则为最后的节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。 。令x = xn+th x ?[x0,xn]，则有： … t 1 △ nf 0(▽ nfn) … △ 3f n-3(▽ 3fn) △ 2f n-2(▽ 2fn) △ f n-1(▽ fn) fn xn … … … … … … △ 3f 0(▽ 3f3) △ 2f 1(▽ 2f3) △ f 2(▽ f3) f3 x3 △ 2f 0(▽ 2f2) △ f 1(▽ f2) f2 x2 t △ f 0(▽ f1) f1 x1 1 f0 x0 n阶差分 … 三阶差分 二阶差分 一阶差分 yi=f(xi) xi …