《自动控制原理》---丁红主编---第四章习题答案教程.doc

4.1 C 4.2 B 4.3 AD 4.4 4.5 解：由题目可知，本系统的闭环特征方程式如下 即 解之得 令， 易得，将其代入的表达式可得 即复数根轨迹部分是以为圆心，为半径的一个圆。 4.6 解：因为特征方程为： 所以 令 得： 非零实数分离点应满足： 虽然，要使根轨迹只有一个非零分离点，必须有： 解得：。 当时得： 渐近线与实轴交于； 渐进线与实轴的夹角为：，； 分离点为-3. 根轨迹如下图所示。 当时，例如，求得： 根轨迹起于0，0，-10； 根轨迹终止于-1和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴交于-4.5； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为，； 实轴上根轨迹区间为：[-10,-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。 系统的根轨迹如下图所示 当时，例如，求得： 渐近线与实轴的交点为：-2； 渐近线与实轴的夹角为：，； 根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图所示： 由上述分析可知： 时，根轨迹有一个非零实数分离点； 时，根轨迹有两个非零实数分离点； 时，根轨迹没有非零实数分离点。 4.7 解：（1）负反馈系统 开环极点0，0，2，-4为根轨迹的起点； 开环有限零点-1，3条根轨迹趋于无穷远处； 实轴上的区间，有限轨迹； 渐近线与实轴的交点：； 渐近线与实轴的夹角：，，； 渐近线与虚轴的交点： 由闭环特征方程： 得： 1 8 6 0 0 0 0 由 解得：或者 辅助方程： 将代入，求得： 根据上述的分析，可绘制负反馈系统的根轨迹如图所示 （2）正反馈系统 4个开环极点0，0，-2，-4为根轨迹的起点； 1个有点零点，3条根轨迹趋于无穷远处； 渐近线与实轴的交点：； 渐近线与实轴的夹角：，，； 分离点的计算： 令，求得分离点在-3.08和0处。 根轨迹如下图所示： 由图可以看出： 负反馈系统在时是稳定的； 当时，正反馈系统恒不稳定。 4.8 解：，；根轨迹分离点，对应的；与虚轴的交点为，对应的，根轨迹如图所示。 设复极点为 根据阻尼比要求 先试凑的取，得，此时，因为，不满足相角条件，因此要使加大，使s与开环极点形成的角度加大。取，得，此时。因此共轭复极点为，此时。 运用长除法得另一极点为，因为，所以可认为是系统的主导极点。 系统的闭环传递函数可近似地表示为： 可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标： 超调量： 调节时间： 4.9 解：由题意可知，系统开环传递函数为 其中，。系统的开环增益为。 1.系统有3个开环极点，；2个开环零点，； 2.根轨迹有3条分支，这三条根轨迹分别起始于开环极点，，两条终止于开环零点，，还有一条终止于无穷远处； 3.实轴上的根轨迹为，； 4.渐近线为：；； 5分离点由解之得：，（舍去）； 根据幅值方程可得：，； 6.与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为： 劳斯矩阵如下： 1 当根轨迹和虚轴有交点时，，即：， 此时的辅助方程如下: 解之得： 根据以上分析，绘制系统的根轨迹，如图所示。 （1）由根轨迹可知，系统稳定的开环放大倍数范围为； （2）系统阶跃响应含振荡分量的开环放大倍数的范围为； （3）系统阶跃响应呈单调形式变化时开环放大倍数的范围为。 4.10 解：先列出系统 的幅值条件如下 当时利用试凑法可得：满足次幅值条件。 系统的闭环特征方程式为： 又已知为特征方程式的一个跟，则可得 解之得： 所以，系统的闭环特征根为，。 4.11 解：开环传递函数 特征方程式为： 整理后的特征方程式为： 此特征方程式的根轨迹，由的极点出发，其极点是的根。因此，的根轨迹由的根轨迹（见图）在时对应点出发。 由图可知，出发点为与-3. 的根轨迹分成3条，其中一条朝向坐标原点，其余2条趋向去穷远处。其渐进线为：，。 根据以上分析可得根轨迹如图所示。 4.12 解：由图知，该系统是一个正反馈控制系统，其根轨迹为零度根轨迹。该系统的开环传递函数为 根据绘制零度根轨迹图的法则可得 （1），即根轨迹有2条分支； （2）2条根轨迹的起点分别为：，；2条根轨迹的终点分别为：，； （3）实轴上的根轨迹为。 根据以上分析，可以绘制该系统的零度根轨迹如图所示。 4.13 解：闭环系统特征方程为： 因为，则， 等效的开环传递函数为 则开环零点有3个：，开环极点有2个：。 根据根轨迹的