线性规划转化和简单应用.doc

线性规划的转化及简单应用 浙江省湖州市南浔中学 温学峰 邮编：313009 联系电话：0572－3035093 线性规划是高中数学中的一个新增内容，主要由线性约束条件（不等式组）和目标函数两部分组成，然后求目标函数的最值。很多学生在解题中只会求已知目标函数是的题型，而对目标函数稍微复杂点的题型就无从着手，本文结合实例来谈谈如何转化目标函数来求得最值。 分式的转化 目标函数为，可转化为，可将看作是可行域内的点和定点两点之间的斜率的倍，然后通过数形结合来确定目标函数的最值。 例1，实数满足，则的最大值是（　　　） 解：作出不等式组在坐标平面上的可行域， 设，则 由图可知的最大值是7 实系数方程的一根在（0,1）之间，另一根在（1,2）之间，求的取值范围。 解：令，则由区间根问题可知： ，即，画出可行域 如图所示； 又的几何意义是过可行域内点与定点的连线的斜率， 解得，，得,由图像可知： 的范围是 碰到目标函数是分式的线性规划题，我们往往可以将分式转化为两点之间的斜率（其中一点在可行域内，一点是定点）或斜率的倍数，通过数形结合来达到求解的目的。 平方和的转化 2x + y - 2= 0 = 5x – 2y + 4 = 0 2x + y - 2= 0 = 5 x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0 O y x A 例3，已知x、y满足以下约束条件　，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是　　　（　） 　　A、13，1　 B、13，2　 C、13，　 D、， 解：如图，作出可行域,x2+y2是可行域内点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C 例4，已知，且，则的最小值为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C．　　 　　D． 解：首先可将目标函数化为，然后将看作是可行域内点和定点之间距离的平方，解法同上例，答案为B。 目标函数如果有平方项的时候，我们往往将目标函数通过配方转化为平方和（或平方和加一个常数）的形式，将目标函数理解为两点的距离（或距离的平方加常数），其中一个点在可行域内，一个是定点，通过数形结合来达到求解的目的。 绝对值的转化 目标函数为，可转化为，将看作可行域内点到直线的距离的倍。 例5，已知实数满足，求的最大值。 解：目标函数转化为：，理解为可行域内点到直线的距离的倍。由，求得， 所以 （图略） 这种转化比较巧妙，主要针对于目标函数中有绝对值的题型。 线性规划在解题中的一个巧妙应用 例6．已知点,,直线过定点且与直线相交，则直线的斜率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． xoyP(1,1)B(-3,-2)A(2,-3) x o y P(1,1) B(-3,-2) A(2,-3) 解：在平面直角坐标系中画出图形，由题意知 两点必在直线的两侧（或某个点正好在直线上）， 设直线的方程为： 即，由两点在直线的 两侧得 所以。选项为 线性规划只要会对目标函数进行转化，那么求解就比较轻松了。 下面附上一些相关的练习，供大家参考： 1.实数、满足不等式组的取值范围是 （ ） A．[－1，0] B． C．[－ D．[－1，1 2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(－2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。 3．设动点坐标（x，y）满足 则x2+y2的最小值为（x－y+1）（x 则x2+y2的最小值为 x≥3， A. B. C. D.10 参考答案： 1．D 2．m≤或m≥ 3．D 南浔中学教学教育论文（案例）评比承诺书 评比类别 □教学论文　□教学案例（设计）　□课堂教学　 其它： 题目内容 线性规划的转化及简单应用 教师姓名 温学峰 性别 男 出生年月 　1979年　02月 职称 中二 单位全称 湖州市南浔中学 单位地址 湖州市南浔中学 邮编 313009 联系电话 办公电话：　　0572－3035093　　手机电子信箱 Email:wenxuefeng34@126.com 个人诚信承诺 1．我郑重承诺（在括号内打“√”）： 所写教学论文系本人原创，没有抄袭他人（ √ ） 所写教学案例真实，源于本人亲历的课堂（ ） 所写教学设计系本人原创，没有照搬