立体几何3空间点﹒直线和平面之间的位置关系.ppt

* 空间点、直线、平面 之间的位置关系 考纲要求 知识梳理 两点 不在 三点 不重合 一个 a⊥b 问题思考 [答案] (1)对　(2)错　(3)错　(4)错 [答案]错 [答案]错 　 [答案]对 要点探究 探究点1　空间点、线、面位置关系的判定 图38－1 [答案] D ?　探究点2　　三点共线与三线共点问题 ?　探究点3　　点、线共面问题 [思路] 只要证明直线CD，EF相交或平行即可． ?　探究点4　异面直线所成的角的计算 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 2.空间直线 (1)空间两直线的位置关系： (2)公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，即对空间中的直线a，b，c，如果ab，bc，则ac. (3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或者互补． (4)两异面直线所成的角：两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′a，b′b，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线中的一条上；异面直线所成的角的范围为________，如果两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线垂直，记作________． ?　问题1　平面的基本性质 (1)若点A在直线l上，直线l在平面α内，则点A在平面α内；(　　) (2)一条直线与一个点确定一个平面；(　　) (3)三点确定一个平面；(　　) (4)两个相交平面只有有限个公共点．(　　) [解析] 因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M在α内，M在β内．又因为平面α与平面β相交于l，所以M在l上． [解析] 由等角定理可知，A1O1B1＝60°或120°. ?　问题　空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形．(　　) [解析] 易证EFAC∥GH，EHBD∥FG，故四边形EFGH是平行四边形． 例1　如图38－1，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 例2如图38－2，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 图38－2 [解答] 证明：C1∈平面A1ACC1，且C1平面DBC1， C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点． M∈AC，M∈平面A1ACC1. 又M∈BD，M∈平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线． O为A1C与截面DBC1的交点，O∈平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是两平面的公共点． 故C1，O，M三点共线． [点评] 证明三点共线的基本思路就是证明这三个点在某两个平面的交线上，一般是先从其中两个点是两平面的公共点入手，根据公理3，过这两点的直线就是这两个平面的交线，再证明第三个点也在这两个平面的交线上，这个方法也可以推广为证明四点、五点共线等．三线共点的基本证明方法是证明两条直线的交点在第三条直线上，这第三条直线可能就是两个平面的交线． 例3　[2011·湖北重点中学二联] 如图38－3，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD＝FAB＝90°，BCAD，BEAF，证明：C，D，F，E四点共面． 图38－3 [解答] 证明：延长DC交AB的延长线于点G，由BCAD，得＝＝＝. 延长FE交AB的延长线于G′，同理可得＝＝＝. 故＝，即G与G′重合，因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面． [点评] 证明四点共面的基本方法是证明这四个点所确定的两条直线共面，根据就是确定平面的几个条件；另一个主要的证明方法就是先由不共线的三点确定一个平面，再证明第四个点也在这个平面内，所使用的方法更有技巧性，高考中对四点共面要求不高，我们不去深究．同样，证明四线共面问题，一般先从两个方面证明三线共面，而这些平面又具备被确定为一个平面的公共条件，这样从两个方面证明的三线共面的