立体几何3空间点﹒直线和平面之间的位置关系.ppt
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* 空间点、直线、平面 之间的位置关系 考纲要求 知识梳理 两点 不在 三点 不重合 一个 a⊥b 问题思考 [答案] (1)对 (2)错 (3)错 (4)错 [答案]错 [答案]错 [答案]对 要点探究 探究点1 空间点、线、面位置关系的判定 图38-1 [答案] D ? 探究点2 三点共线与三线共点问题 ? 探究点3 点、线共面问题 [思路] 只要证明直线CD,EF相交或平行即可. ? 探究点4 异面直线所成的角的计算 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
2.空间直线
(1)空间两直线的位置关系:
(2)公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行,即对空间中的直线a,b,c,如果ab,bc,则ac.
(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或者互补.
(4)两异面直线所成的角:两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′a,b′b,把a′,b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角).a′,b′所成的角的大小与点O的选择无关,为了简便,点O通常取在异面直线中的一条上;异面直线所成的角的范围为________,如果两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线垂直,记作________.
? 问题1 平面的基本性质
(1)若点A在直线l上,直线l在平面α内,则点A在平面α内;( )
(2)一条直线与一个点确定一个平面;( )
(3)三点确定一个平面;( )
(4)两个相交平面只有有限个公共点.( )
[解析] 因为a∩b=M,aα,bβ,所以M在α内,M在β内.又因为平面α与平面β相交于l,所以M在l上.
[解析] 由等角定理可知,A1O1B1=60°或120°.
? 问题 空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是平行四边形.( )
[解析] 易证EFAC∥GH,EHBD∥FG,故四边形EFGH是平行四边形.
例1 如图38-1,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
例2如图38-2,正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C与截面DBC1交于O点,AC,BD交于M点,求证:C1,O,M三点共线.
图38-2
[解答] 证明:C1∈平面A1ACC1,且C1平面DBC1,
C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点.
M∈AC,M∈平面A1ACC1.
又M∈BD,M∈平面DBC1,M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点,C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线.
O为A1C与截面DBC1的交点,O∈平面A1ACC1,O平面DBC1,即O也是两平面的公共点.
故C1,O,M三点共线.
[点评] 证明三点共线的基本思路就是证明这三个点在某两个平面的交线上,一般是先从其中两个点是两平面的公共点入手,根据公理3,过这两点的直线就是这两个平面的交线,再证明第三个点也在这两个平面的交线上,这个方法也可以推广为证明四点、五点共线等.三线共点的基本证明方法是证明两条直线的交点在第三条直线上,这第三条直线可能就是两个平面的交线.
例3 [2011·湖北重点中学二联] 如图38-3,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90°,BCAD,BEAF,证明:C,D,F,E四点共面.
图38-3
[解答] 证明:延长DC交AB的延长线于点G,由BCAD,得===.
延长FE交AB的延长线于G′,同理可得===.
故=,即G与G′重合,因此直线CD、EF相交于点G,即C,D,F,E四点共面.
[点评] 证明四点共面的基本方法是证明这四个点所确定的两条直线共面,根据就是确定平面的几个条件;另一个主要的证明方法就是先由不共线的三点确定一个平面,再证明第四个点也在这个平面内,所使用的方法更有技巧性,高考中对四点共面要求不高,我们不去深究.同样,证明四线共面问题,一般先从两个方面证明三线共面,而这些平面又具备被确定为一个平面的公共条件,这样从两个方面证明的三线共面的
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