四弹性力学有限元法基本原理(三).ppt

七、等参单元数值积分阶次的选择 1、高斯数值积分的基本概念 采用减缩积分的原因： 第一： 完全积分是由被积函数中对应形函数高方次非完全项部分的精确积分所要求。但位移模式中决定计算精度的是完全多项式的方次，高方次非完全多项式部分往往不能提高精度，并且可能带来负面影响！ 如采用较低积分阶的减缩积分，可使积分精度正好保证完全多项式方次对应的被积函数精确积分的要求，而不包括更高次非完全多项式的要求，相当于对形函数作了某种修正，从而一定情况下改善了单元精度！这种情形的减缩积分称为“优化积分方案”。 第二： 基于最小势能原理的有限元位移法中，位移解具有下限性质。有限元计算模型比实际结构刚度偏大。减缩积分可以使模型刚度有所降低，因此往往有助于提高计算精度。 第三： 对于势能泛函中包含罚函数的情况，必须采用减缩积分以保证与罚函数对应的刚度矩阵是奇异的。 4、数值积分情况下保证总刚度矩阵非奇异 1）数值积分条件下刚度矩阵的秩 2）减缩积分情况下刚度矩阵的奇异性 * * 第一节????空间问题的有限单元 前面讨论了有限元法解弹性力学平面问题和轴对称问题的基本原理和列式，以及几种高精度二维单元。 包括轴对称在内的二维问题具有非常重要的意义，但是在工程实际中，更大量的问题是复杂的三维问题，且不可能求得理论解。上述有限元位移法基本原理可以自然地推广到三维问题。首先以空间常应变四面体单元为例讨论三维有限元构造原理。 第四单元 弹性力学有限元法基本原理（三） 一、常应变四面体单元 1、位移模式 该单元的几何和局部节点编号如图4-1所示。对三维问题，每节点有三个位移分量，单元有4个节点共12个自由度。 图4-1 空间四面体单元 因此，单元内每个位移分量设为x，y，z坐标的一次多项式： 用3节点三角形单元中同样的插值过程，进行广义坐标替换，得到该单元用节点位移作广义坐标的位移模式： 形函数： 其形函数表达式与3节点三角形单元形函数形式相似。 位移模式的矩阵形式为： 该单元的线性位移模式能保证单元3个节点的公共边界（三角形）上位移的协调，因此是协调单元，单元的收敛性得到保证。 2、应变矩阵 三维问题有6个应变分量，因此单元的应变表达式中的应变矩阵为6×12。应变矩阵的元素为常数，因此也称为常应变单元。 3、单元刚度矩阵 由三维弹性力学问题离散总势能表达式得出三维单元刚度矩阵，并考虑到应变矩阵为常量： 4、单元等效节点力计算方法 二、六面体单元简介 平面问题的矩形单元推广到空间问题中就是六面体单元，一般可以取为8节点和20节点两种，如图4-2所示。 为了能在总体坐标系下建立单元列式，须要限制单元几何为平行于总体直角坐标系的长方体。因此，该单元的局限性与二维问题的矩形单元相同。 图4-2 六面体单元   两种形式的单元位移多项式包含的项分别为： 该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广，再用形函数性质进行验证。 为了突破这类单元几何上的限制，得到实用的单元，必须引入等参变换。 第二节????等参单元 问题的提出 第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。 从前面介绍的各种二、三维单元看出，这些单元可能有两个方面的约束： 第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元； 任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。这类单元称为等参单元。 等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。 解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。 一、等参单元的概念 图4-3为一个4节点任意四边形单元（Q4），单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 但在建立单元位移模式时产生了新的问题： 1）单元上没有一个如矩形单元的简单直接的局部坐标系； 2）不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不满足协调性）。 图4-3 4节点任意四边形单元及其母单元 因此需要在任意四边形单元上建立一种新的非正交局部坐标系ξ-η（如图），使得每条边有一个局部坐标为常数（±1），则在ξ-η坐标平面内，原任意四边形