弹性力学和有限元法-chapter5.ppt

§5-1 有限元法及其发展简史 1. 有限元法 定义 是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。 分析指导思想 化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易 2. 发展简史 1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度 1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解 20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用 3. 发展方向 新型单元的研究 有限元的数学理论 向新领域扩展应用 大型通用程序的编制和设计 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 开发微机用版本 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM） 4. 有限元法的分类 以方程中未知数代表的意义分类 §5-2 有限元法分析简例 4. 形成方程 §5-3 有限元法分析过程概述 1. 结构物的离散 3. 分析单元的力学特性 {R}e= [K]e {δ}e {R}e — 单元节点力 [K]e — 单元刚度矩阵 4. 计算等效节点力 5. 组装整体结构物的刚度矩阵 [K ] [K ] =Σ[K]e 6. 形成结构物的求解方程，并解出位移{δ} * * 第五章 有限元法简介 第五章 有限元法简介 第五章 有限元法简介 有限元位移法：未知数为位移 有限元力法：未知数为力 有限元混合法：未知数为力和位移 以推导方法分类 直接法 变分法 加权余数法 第五章 有限元法简介 图5-1 简例结构图 第五章 有限元法简介 由两根杆件组成的桁架，杆件的截面积都为A，弹性模量为E，长度为l1及l2，在节点处受有外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3，求各节点的位移。 第五章 有限元法简介 分析步骤： 1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 ，表示节点施加在单元1上的节点力。相应的位移为 。下标表示节点的编号，上标表示单元的编号。同样第二单元上节点2、3处的节点力和节点位移分别为 和 图5-2 简例单元图 第五章 有限元法简介 图5-3 单元特性图 2. 研究单元特性 在单元分析中，主要是建立节点位移分量和节点力的关系式。 令u11=1，v11= u12= v12= 0，则杆1的变形量为1×cos?，由材料力学可知，杆1所受的轴向压力P 引起该位移的节点1的节点力分量 由杆1处于平衡，可得节点2的节点力分量 第五章 有限元法简介 同样，如果给定v11=1，u11= u12= v12= 0及 u12=1，u11= v11= v12= 0以及 v12=1，u11= v11= u12= 0，将会得到另外三组节点力 v11=1，u11= u12= v12= 0 u12=1，u11= v11= v12= 0 v12=1，u11= v11= u12= 0 第五章 有限元法简介 第一单元的节点力和节点位移的关系 若同时给定位移u11，v11， u12 ，v12，由迭加原理，可得 写成矩阵形式 第五章 有限元法简介 采用刚度矩阵，可写成 因此，就得出了单元?的特性：节点力和节点位移的关系。 — 单元?的节点力列阵 — 单元?的刚度矩阵 — 单元?的节点位移列阵 第五章 有限元法简介 同样，可得到第二单元的节点力和节点位移的关系（也可直接将? = 90o带入上一矩阵表达式，同时用 l2替代 l1） 单元?的特性 对于单元?的刚度矩阵 ，可以写成分块形式 单元刚度矩阵的子矩阵 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。 第五章 有限元法简介 单元?的节点力和节点位移的关系可写成 对于单元?的刚度矩阵 ，也可以写成分块形式 单元?的节点力和节点位移的关系可写成 其中