2011.7.12反证法、放缩法证明不等式.ppt

反证法、放缩法证明不等式 * * 三、反证法与放缩法 (1)反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 反证法主要适用于以下两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形. （正难则反） (2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法. 习题2.3 1、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 证明：设(1 ? a)b1/4, (1 ? b)c1/4, (1 ? c)a1/4, 法１： 证明：在　　　　时，显然成立. 当　　　　时，左边 法２： 法３：函数的方法