8线性代数练习题(带解题过程).doc
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线性代数试题
一 填空题
◆1． 设为3阶方阵且，则 ；
【分析】只要与有关的题，首先要想到公式，，从中推
你要的结论。这里代入
注意： 为什么是
◆2． 设，
如线性相关，则线性______(相关)
如线性无关，则线性______(无关)
【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。
，记此为
这里，
切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！
◆3． 设非齐次线性方程，，是它的三个解，且
求该方程组的通解。(答案：，形式不
唯一)
【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）
是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性组合仍为方程组的解)。
◆4． 当 时，能由线性表示
（答案）
【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。
你来做：设，，，，
问为何值时，不能由线性表示；能由线性表示且表法唯
一；能由线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。
注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如
果不是方阵只有用初等行变换的方法了。
＊5． 设，求使为正交矩阵
【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题
当然要根据题之要求，还要使用Schimidt正交化，单位化过程（答案：详见教材P117
例3，还要再单位化）
你写一写
正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交
你也应该会！
带＊的题目可以暂时不看！
二 选择题
◆1． 设为满足的两个非零矩阵，则必有
(A) 的列向量组线性相关，的行向量组线性相关
(B) 的列向量组线性相关，的列向量组线性相关
(C) 的行向量组线性相关，的行向量组线性相关
(D) 的行向量组线性相关，的列向量组线性相关
【分析】遇到，就要想到以及的列向量均是线性方程组
的解。
B的每一列向量都是方程组Ax=0的解向量，解向量组的极大无关组为方程组的基础解系，基础解系中解向量的个数与自由未知量的个数相同，为n-r；也即解向量中线性无关的解向量最多有n-r个，因此，秩（B）=n-r;因此当时，有
另外： 遇到要想到的列组都是的列组的线性组合，的行组都是的行组
的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。
◆2．设，则（ ）（多选）。
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）对，必有无穷多解
（Ｄ）若
（Ｅ）(答案:B,C,D,E)
【分析】
（I） (A)和(B)是化标准形的问题。这里是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个
m阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来
此时是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换
把后面的矩阵C消为零。故（B）是对的。（A）不对。
（II） 对于（C）要知道，如果是行满秩矩阵，则一定是有解的，这是因
为
至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与
未知数的个数（即A的列数比较），由题设，故有无穷多解（C）
也是对的。
（III） 对于(D)这是书上定理只有零矩阵解的充要条件是是列满矩阵的
变形这里是列满秩,故(D)也是对的。
（IV） 对于（E）要了解形如的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结
论一是是一个对称半正定的矩阵（这用是很容易证明的），二
是（这是书上的例题）。用第二个结论立即知可逆（实际上是
对称正定）的充要条件是是列满秩。这样就（E）是对的。
另外： 对于型的矩阵，如果，一定有（这是因为
），记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如
果是方阵的话）
◆3． 设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵，则（ ）
（Ａ）交换的第１列与第２列得 （Ｂ）交换的第１行与第２行得
（Ｃ）交换的第１列与第２列得（Ｄ）交换的第１行与第２行得
【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换A和第1
行和第2行得B，则有（左行右列原则），从而，由此关系
找与的关系：
由此知(C)是对的。
◆4． 设为方阵，是齐次线性方程组的两个不同的解向量，则（ ）是
的特征向量
（A）与，（B），（C），（D）（A）、（B）、（C）都是
【分析】齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值0，对应的特征向
量就是其非零解。这里要选（C）才能保证是非零的。把此题变化一下：
设是齐次线性方程组的两个不同的解向量，，
则（ ）是的基础解系。
（A）（B），（C），（D）
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