概率论与数理统计第八章假设检验第二节︰正态总体均值的假设检验.ppt

数理统计 数理统计 一个正态总体均值的检验 两个正态总体均值的检验 第二节 正态总体均值的假设检验 一、一个正态总体N(μ, σ2)均值μ的检验 1. σ2已知, 关于μ的检验 (u检验法) 我们利用 H0在为真时, 服从 N(0, 1)分布的统计量 来确定拒绝域, 这种检验法常称为 u检验法。 拒绝域为：|u|uα/2 取显著性水平为 α, 现在来求这个问题的拒绝域. 若观测值 与 μ0的差 过分大, 即： 因 H0中 μ全都比 H1中的小, 从直观上看, 较合理的检验法应是: 则拒绝 H0而接受 H1, 因此拒绝域的形式为： (k待定). 欲判断假设H0的真假, 先假定 H0真, 在此前提下构造一个能说明问题的小概率事件 A． 试验取样, 由样本信息确定 A是否发生, 若小概率事件 A发生, 这与小概率原理相违背, 说明试验的前定条件 H0不成立, 拒绝 H0, 接受 H1; 若小概率事件 A没有发生, 没有理由拒绝 H0, 只好接受H0． 概率反证法: 所以要控制 P{拒绝 H0| H0为真 } ≤ α, 由Φ(x)的单调性得到: P{拒绝 H0| H0为真 } 取: 作为检验统计量 P{拒绝 H0|H0为真}＝ 已知当 H0为真时, , 故由: 当 过大时就拒绝 H0, 拒绝域为: 2. σ2未知, 关于μ的检验 (t检验法) 设总体 X～N(μ, σ2), 其中 μ, σ2未知: 上述利用 t统计量得出得检验法称为 t 检验法。 在实际中, 正态总体的方差 σ2常为未知, 所以我们常用: t 检验法来检验关于正态总体均值 μ的检验问题。 解: 按题意需检验: 取 α=0.05。检验问题的拒绝域为: t不落在拒绝域, 故接受 H0, 即认为元件的平均寿命不大于225(小时). 现在 n=16, 即得: 又算得: 例1: 某电子元件的寿命 X(小时)服从正态分布, μ, σ2未知。 现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问: 是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? T 现在来求检验问题: 其中: 引用下述 t 统计量作为检验统计量： (δ为已知常数) 的拒绝域, 取显著性水平为 α=0.05. 二、两个正态总体均值的检验 (t 检验) 设 x1, x2, … xn1是来自正态总体 N(μ1, σ2)的样本, y1, y2, … yn2是来自正态总体 N(μ2, σ2)的样本, 且设两样本独立. 又分别记它们的样本均值为 记样本方差为 s12, s22. 设 μ1, μ2, σ2均为未知, 注意, 在这里假设两总体的方差是相等的. 用t 检验法可以检验具有相同方差的两个正态总体均值差的假设. 于是得拒绝域为: 当两种正态总体的方差均为已知时, 可用u检验法来检验两正态总体均值差的假设问题。 关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表中给出。 常用的是 δ=0的情况。 P{拒绝H0|H0为真}= 当 H0为真时, 已知 t~t(n1+n2-2)与单个总体的 t检验法相仿, 其拒绝域的形式为: 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议 是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的。 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同。 先用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为: 标准方法:78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法:79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 例2: 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体 N(μ1, σ2) 和N(μ2, σ2) , μ1, μ2, σ2均未知。 问建议的新操作方法能否提高得率? (取α=0.05) 故拒绝域为: 现在由于样本观察值 t＝-4.295-1.734