（精）数学竞赛专题 函数奇偶性和单调性.ppt

* * 11.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x) 12．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。 　　 解．f(x)关于x=2和x=7对称。 　　f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。 　　f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10为周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．综上，f(x)在[－30，30]上至少有13个零点 13．函数f(x) = 的图象的对称轴方程为x=2，则常数a= －4 . 莆田四中 许沐英 这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用 一.函数奇偶性的定义： 如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有： （1）f（－x）= － f（x），则称 y =f（x）为奇函数 （2）f（－x）= f（x），则称 y =f（x）为偶函数 例1：若 f(x)是奇函数，当x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式 【解法1】x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x)， 在其上取三点P1（0，0）、 则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)， 设x＜０时， 3 4 ) 3 2 ( ) ( 2 - + = x a x f ∵ Q2在其上， ∴ 解之，得a = 3， ∴ x＜０时， 0 3 4 ) 3 2 3 4 ( 2 = - + - a ) 4 3 ( 3 4 ) 3 2 ( 3 ) ( 2 + = - + = x x x x f 例1：若 f(x)是奇函数，当x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式 【解法2】 设x＜0，则－x＞0 ∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x) ∵ f ( x )是奇函数， ∴ f (－x) = －f ( x ) ∴ x＜0时， f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)． 例2 已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有 ，且f（0）≠0，则f ( x )是 （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）是奇函数也是偶函数 （D）既非奇函数也非偶函数 例3 函数y = f ( x )在 (-∞,0] 上是减函数，而函数 y = f (x+1)是偶函数．设 ， b = f ( 3 ) ， c = f ( ? ) ．那么a，b，c的大小关系是____. 【解】 , c = f ( ? ) ∵ y = f ( x+1 )是偶函数 ∴ y = f ( x )的图像关于x = 1对称， 于是由y = f ( x )在(-∞,0]上递减知， f ( x )在[2,+∞)上递增． ∵ f (－2) = f ( 4 ) 而 2＜3＜?＜4 ∴ f (3)＜f (? )＜f (4)，即b＜c＜a． ． 例4.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当 0≤x≤ 时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的