数学竞赛专题函数奇偶性与单调性.ppt

* * 11.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 12．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。 　　 解．f(x)关于x=2和x=7对称。 　　f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。 　　f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10为周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．综上，f(x)在[－30，30]上至少有13个零点 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 13．函数f(x) = 的图象的对称轴方程为x=2，则常数a= －4 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 莆田四中 许沐英 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一.函数奇偶性的定义： 如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有： （1）f（－x）= － f（x），则称 y =f（x）为奇函数 （2）f（－x）= f（x），则称 y =f（x）为偶函数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1：若 f(x)是奇函数，当x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解法1】x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x)， 在其上取三点P1（0，0）、 则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)， 设x＜０时， 3 4 ) 3 2 ( ) ( 2 - + = x a x f ∵ Q2在其上， ∴ 解之，得a = 3， ∴ x＜０时， 0 3 4 ) 3 2 3 4 ( 2 = - + - a ) 4 3 ( 3 4 ) 3 2 ( 3 ) ( 2 + = - + = x x x x f 例1：若 f(x)是奇函数，当x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides