专题讲座数列与不等式综合应用.doc

专题讲座：数列与不等式综合应用 例1 设等比数列的公比为，前n项和 （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 例3.求证: 例4.求证: 解析: 例5 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,∵ ∴,∵,,… ,故当时,, 因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数， 则当时,必有. 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例6.设不等式组表示的平面区域为, 设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 例7．在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，． （1）分别计算和的值； （2）求数列的通项公式（将用表示）； （3）设数列的前项和为，证明：，． 中，，对一切，，。 （I）求证：且；（II）证明：。 证明：（1）∵，∴， ∴ ，∴， 若存在，则，由此可推出，此与矛盾， 故。 ∵ ，∴ 。 （2）由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∴ 。 6．设二次函数的所有整数值的个数为g(n) ． （I）求g(n)的表达式； （II）设 （III）设的最小值． 【解析】：（I）当时，函数的值随x的增大而增大， ∴的值域为，∴． （II）． ① n为偶数时， =－[3 + 7 +…+（2n－1）]=－． ②当n为奇数时， =－． ∴． （III）由 ① ①×得 ② ①－②得 =． ∴． 则由，可得l的最小值是7．