2017高考数学二轮复习专题21：数列与不等式的综合应用及限时训练.doc

专题二十一：数列不等式的综合应用 【走进高考】 1. (09·湖北) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( C ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2. (09·福建) 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_5__. 3.(09·江苏) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为. (1) 求和关于、的表达式，当时，求证：=； (2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由. 【解析】(1). 当时， 显然. (2)当时， 由. 故当，即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为. 【考点聚焦】 一、数列建模的主要步骤 1.理解问题 通过阅读理解，弄清问题的实际背景，明确问题所反映的基本量和基本量之间的关系，并设法用数学语言来描述问题. 2.简化假设 理解所给的实际问题之后，领悟背景中反的基本量的实质，并对问题作出必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中的关键词和主要变量. 3. 数学建模 把握实际问题中的关键信息，通过恰当的联想、化归，根据问题实质建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，通过引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、函数、不等式和数列等. 4.求解模型 以所学的数学知识为工具，对建立的数学模型进行求解. 5.检验评价 将所求的结果代回模型之中检验，并与实际情况比较，确定模型的有效性. 二、不等式建模 实际问题中的变量之间的大小关系是不等式建模的主要依据. 【经典例解】 题型一：数列与函数、解析几何的综合 【例1】已知曲线C：的横坐标分别为1和，且a1=5，数列{xn}满足xn+1 = tf (xn – 1) + 1（t 0且）．设区间，当时，曲线C上存在点使得xn的值与直线AAn的斜率之半相等． (1) 证明：是等比数列； (2) 当对一切恒成立时，求t的取值范围； (3) 记数列{an}的前n项和为Sn，当时，试比较Sn与n + 7的大小，并证明你的结论． 【解析】(1)由已知得 又由. ∴即 ∴是首项为2+1为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)得=（2+1）·2n-1，∴. 从而an=2xn－1=1+，由Dn+1Dn，得an+1an，即. ∴02t1，即0t (3) 当时，，∴. 不难证明：当n≤3时，2n-1≤n+1；当n≥4时，2n-1n+1. ∴当n≤3时， 当n≥4时， 综上所述，对任意的 【点拨】本题是一道数列、函数、解析几何、不等式等知识交汇的综合题，考查递推数列、等比数列的证明与求和、直线、直线的斜率、抛物线、对数运算、不等式等基本知识，同时考查考生的推理证明能力、计算能力、分析和解决问题的能力. 解答第(1)问的突破口是利用xn+1 = tf (xn – 1) + 1建立1+logt(xn+1-1)与1+logt(xn-1)的关系； 解答第(2)问的突破口是利用第(1)问的结论和Dn+1Dn，建立不等式an+1an，进转化为关于t的不等式求解； 解答第(3)问的突破是利用求和公式求出Sn后进行缩放与n+7比较大小. 【变式】已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0. (1)求y=f(x)的表达式； (2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn； (3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面